قانون هوك، الإجهاد والانفعال
| English | العربية |
|---|---|
| Hooke's law/hʊks lɔː/ | قانون هوك |
| tensile/ˈtensaɪl/ | شددي |
| extension/ekˈstenʃn/ | تمدد |
| compressive/kəmˈpresɪv/ | ضغطي |
| load/ləʊd/ | حمل |
| spring constant/sprɪŋ ˈkɒnstənt/ | ثابت الزنبرك |
| limit of proportionality/ˈlɪmɪt ɒv prəˌpɔːʃəˈnælɪti/ | حد التناسب |
| stress/stres/ | الإجهاد |
| strain/streɪn/ | الانفعال |
| Young modulus/jʌŋ ˈmɒdjʊləs/ | معيار يونغ |
شدّ بقوة ضعف ما سبق
- اسحب نابضاً بقوة ضعف ما سبق فيشدّ لمسافة ضعف ما سبق.
- هذه القاعدة المستقيمة الجميلة هي قانون هوك — حتى نقطة معينة.
- تُمكّننا من قياس القوى باستخدام النوابض واختبار المواد.
الشد والضغط
- قوة شد تمتد الجسم، مما يعطي امتداداً $x$.
- قوة ضغط تضغطه. القوة المطبقة هي الحمل.
آلة اختبار عالمية حديثة تمط عينة وتسجل القوة والامتداد
قانون هوك
F = k·x
القوة متناسبة طردياً مع الاستطالة — الميل هو ثابت الزنبرك k.
قانون هوك
- الامتداد متناسب مع الحمل: $F = kx$.
- $k$ هو ثابت الزنبرك (الصلابة)، بـ $\dfrac{\text{N}}{\text{m}}$ — ميل منحنى $F$–$x$.
زنبرك يخضع لقانون هوك
علق حملاً على الزنبرك الحقيقي: حتى الحد المرن يكون الاستطالة متناسبة مع القوة؛ وما بعده يتمدد الزنبرك بشكل دائم.
حمل وزنه $12\ \text{N}$ يطيل زنبرك بمقدار $0.040\ \text{m}$. ما ثابت الزنبرك؟
$k = \dfrac{F}{x} = \dfrac{12}{0.040} = 300\ \dfrac{\text{N}}{\text{m}}$.
ضمن قانون هوك، مضاعفة الحمل تضاعف الاستطالة.
نعم — $F = kx$ علاقة خطية (متناسبة)، لذا $x$ يتناسب مع $F$.
حد التناسب
- قانون هوك صالح فقط حتى حد التناسب.
- وراءه يصبح منحنى $F$–$x$ منحنيًا — لا يعمل $F = kx$ البسيط بعد ذلك.
زنبرك يخضع لقانون هوك: الامتداد متناسب مع القوة المطبقة
ينطبق القانون الخطي $F = kx$ فقط حتى:
خارج حدود التناسب، تنحني منحنى $F$–$x$ ولا يُطبق $F = kx$ بعد ذلك.
أي مما يلي يضمن صحة نص قانون هوك الكامل؟ حدد جميع الخيارات الصحيحة.
هذا الشرط جزء من القانون وليس إضافة خارجية. المطاط لا يتبع هذا القانون إطلاقاً، والمعدن يتوقف عن الامتثال له عند تجاوز الخط المستقيم.
الزنبركات معاً
- على التوالي (طرفاً لطرف): $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2}$ — أضعف بشكل عام.
- على التوازي (جنبًا إلى جنب): $k_{\text{total}} = k_1 + k_2$ — أكثر صلابة بشكل عام.
الزنبركات على التوالي أضعف (يتم جمع 1/k)؛ الزنبركات على التوازي أكثر صلابة (يتم جمع k)
تم توصيل زنبركين متطابقين (لكل منهما ثابت $k$) على التوالي. ما هو ثابت الزنبرك الإجمالي؟
يُصبح $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k} = \dfrac{2}{k}$، وبالتالي $k_{\text{total}} = \tfrac{1}{2}k$ — فالزوج يتمدد بسهولة أكبر.
الإجهاد والانفعال
- الإجهاد $\sigma = \dfrac{F}{A}$ (القوة لكل وحدة مساحة، بـ Pa).
- الانفعال $\varepsilon = \dfrac{x}{L_0}$ (الامتداد ÷ الطول الأصلي — بدون وحدة).
صافق كل كمية بصيغتها.
الإجهاد هو القوة لكل وحدة مساحة؛ الانفعال هو الاستطالة النسبية؛ ثابت الزنبرك هو الحمل لكل وحدة استطالة.
صل كل مصطلح بالتعريف الذي يضعه المصحح.
معيار يونغ خاصية للـ مادة، بينما ثابت الزنبرك خاصية للـ عينة، ولهذا فإن سلكاً أكثر سماكة من نفس المعدل يغير أحدهما دون الآخر.
معامل يونغ
- $E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon} = \dfrac{F L_0}{A x}$، بـ Pa (حوالي $2 \times 10^{11}$ للصلب).
- إنه خاصية للمادة فقط؛ ثابت الزنبرك $k = \dfrac{EA}{L_0}$ يعتمد أيضًا على الحجم.
مادة ذات معيار يونغ $2.0 \times 10^{11}\ \text{Pa}$ تتعرض لإجهاد قدره $1.0 \times 10^{8}\ \text{Pa}$. ما مقدار الانفعال؟
$\varepsilon = \dfrac{\sigma}{E} = \dfrac{1.0 \times 10^{8}}{2.0 \times 10^{11}} = 5.0 \times 10^{-4}$.
يعتمد معيار يونغ لسلك على طوله وسمكه.
لا — معيار يونغ خاصية للـ مادة. أما ثابت الزنبرك $k = EA/L_0$ فهو الذي يعتمد على الأبعاد.
سلك قطره 0.50 مم. ما هي مساحته المقطعية بوحدة 1e-7 م^2؟
نصف القطر 0.25 مم = 2.5e-4 م، إذن A = pi r^2 = 1.96e-7 م^2. استخدام القطر كنصف قطر يعطي أربعة أضعاف القيمة الصحيحة، وهو الخطأ الكلاسيكي هنا.
قياس معامل يونغ
- استخدم سلكًا طويلًا ورقيقًا بحيث يكون الامتداد كبيرًا بما يكفي للقياس.
- احسب المساحة من القطر (بالميكرومتر)، حمّله خطوة بخطوة، وارسم $F$ مقابل $x$: الميل $= \dfrac{EA}{L_0}$.
سلك طويل رقيق يُحمّل خطوة بخطوة؛ ميل F مقابل x يعطي EA/L₀
سلك أكثر سماكة من نفس المعدل له معيار يونغ أكبر.
معيار يونغ خاصية للمادة ولا يتغير بالسمك. السلك الأكثر سماكة له ثابت زنبرك أكبر، وهو الخاصية الخاصة بالعينة.
علامات ضائعة
- قانون هوك يحتاج شرطه. "الامتداد متناسب طرديًا مع القوة المطبقة" هو نصف الشرط فقط؛ أضف "بشرط عدم تجاوز حد التناسب".
- حد التناسب هو نهاية الخط المستقيم. الحد المرن هو نهاية السلوك المرن، وهو أبعد قليلاً منه. ليسا نفس النقطة.
- في $A = \pi r^2$ استخدم نصف القطر، لذا قسّم القطر أولاً، وحوّل $\text{mm}^2$ إلى $\text{m}^2$ عن طريق $10^{-6}$، وليس $10^{-3}$.
- السلك الأكثر سمكًا لا يمتلك معامل يونغ أكبر. المع是属于 للمادة؛ السلك السميك له ثابت زنبرك أكبر.
- الإجهاد هو القوة لكل وحدة مساحة مقطعية والانفعال هو الامتداد لكل وحدة الأصلي طول. الانفعال لا وحدة له.
لقد فهمت الأمر
- قانون هوك $F = kx$ صالح حتى حد التناسب
- إجهاد $\sigma = \dfrac{F}{A}$، انفعال $\varepsilon = \dfrac{x}{L_0}$
- معامل يونغ $E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon}$ — خاصية للمادة، وليس لشكلها