التباديل والتوافيق
مُقدَّم| English | العربية |
|---|---|
| permutation/ˌpɜːmjuːˈteɪʃn/ | التبديل |
| combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn/ | التوافيق |
| factorial/fækˈtɔːrɪəl/ | المضروب |
| multiplication principle/ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃn ˈprɪnsɪpl/ | مبدأ الضرب |
كم عدد طرق ترتيب رف الكتب؟
- لديك 10 كتب وتريد اختيار 3 لعرضها. كم عدد الطرق؟ إذا كان الترتيب مهمًا، فهو ترتيب (permutation). إذا كنت تريد أي 3 فقط، فهو تركيب (combination).
- تقنيات العد هي أساس الاحتمالات — وتظهر في كل مكان، من احتمالات اليانغ إلى أمان كلمات المرور.
مختبر التباديل أو التوافيق
اختر ما إذا كان الترتيب مهمًا في مسألة العد.
الترتيبات (حيث يهم الترتيب)
- الترتيب هو ترتيب حيث يهتم الترتيب: ${}^nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$.
- مثال: ترتيب 3 كتب من أصل 10: ${}^{10}P_3 = \dfrac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720$.
مثال محلل. كم عدد رموز 3-حرف يمكن تكوينها من 26 أحرف (بدون تكرار)؟ ${}^{26}P_3 = 26 \times 25 \times 24 = 15\,600$.
الترتيبات: تُرتب 3 كتب بـ 3 × 2 × 1 = 6 ترتيبات مختلفة
في التوافق، ترتيب العناصر المختارة:
التوافيق تتجاهل الترتيب؛ تحسب التباديل الترتيب.
كم عدد طرق ترتيب 3 كتب من أصل 10 على رف (¹⁰P₃)؟
¹⁰P₃ = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 × 9 × 8 = 720.
التركيبات (حيث لا يهم الترتيب)
- التركيب هو اختيار حيث لا يهم الترتيب: ${}^nC_r = \dbinom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$.
- مثال: اختيار 3 كتب من أصل 10: ${}^{10}C_3 = \dfrac{10!}{3!\,7!} = \dfrac{720}{6} = 120$.
الترتيب مقابل التركيب. اختيار لجنة مكونة من 3 أشخاص من 10 أشخاص هو تركيب (لا يهم الترتيب). اختيار رئيس ونائب رئيس وأمين سر من 10 أشخاص هو ترتيب (يهتم الترتيب — الأدوار مختلفة).
يهتم الترتيب بالنسبة للترتيب، لكن ليس بالنسبة للتركيب
كم عدد الطرق لاختيار 2 من 5 (⁵C₂)؟
⁵C₂ = 5!/(2!3!) = 120/(2×6) = 10.
⁵P₃ أكبر من ⁵C₃.
⁵P₃ = 60 (الترتيب مهم)، ⁵C₃ = 10 (الترتيب غير مهم). التباديل دائمًا ≥ التوافيق.
الترتيبات مع التكرار
- لترتيب كلمة بحروف مكررة، قسّم على مضروب كل عددي تكرار.
- مثال: NEEDLESS تحتوي على 8 حروف مع 3 E و 2 S: الترتيبات $= \dfrac{8!}{3!\,2!} = \dfrac{40320}{12} = 3360$.
كم عدد الترتيبات لأحرف NEEDLESS؟ (8 أحرف: E×3, S×2 → 8!/(3!2!))
8!/(3!2!) = 40320/(6×2) = 40320/12 = 3360.
مبدأ الضرب
- إذا كان بإمكان اختيار واحد أن يتم بـ $m$ طرق وآخر بـ $n$ طرق، فإن كليهما معًا يمكن أن يتم بـ $m \times n$ طرق.
- مثال: 3 قمصان و 4 بنطلونات → $3 \times 4 = 12$ طقم.
لديك 3 قمصان و4 بنطلونات. كم عدد الطقوم التي يمكنك تكوينها؟
3 × 4 = 12 طقم (مبدأ الضرب).
لقد فهمت الأمر
- ترتيب (يهتم الترتيب): ${}^nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$
- تركيب (لا يهم الترتيب): ${}^nC_r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$
- أحرف مكررة: قسّم $n!$ على مضروب كل تكرار (NEEDLESS → $\dfrac{8!}{3!\,2!}$)