احتمال
مُقدَّم| English | العربية |
|---|---|
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | مستقل |
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | متبادل الاستبعاد |
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | الاحتمال الشرطي |
| tree diagram/triː ˈdaɪəɡræm/ | المخطط الشجري |
| without replacement/wɪˈðaʊt rɪˈpleɪsmənt/ | بدون إرجاع |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | مخطط فين |
| two-way table/tuː weɪ ˈteɪbl/ | جدول ثنائي الاتجاه |
مفارقة عيد الميلاد
- في غرفة تضم 23 شخصًا فقط، هناك احتمال أكبر من 50% أن يشارك اثنان منهما نفس عيد الميلاد.
- الاحتمالات ضد الغرائز. القواعد بسيطة، لكن النتائج قد تفاجئك.
دمج الاحتمالات
- الجمع ("أو"): $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
- الضرب ("و"، إذا كانت مستقلة): $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$.
- الأحداث المتبادلة الاستبعاد لا يمكن أن تحدث معًا؛ الأحداث المستقلة لا تؤثر على بعضها البعض.
مثال محلول. P(rain) = 0.3، P(bus late) = 0.2، مستقلة. P(rain or bus late) = 0.3 + 0.2 − 0.3 × 0.2 = 0.44.
المتبادلة الاستبعاد ≠ المستقلة. المتبادلة الاستبعاد تعني أنه لا يمكن أن يحدثا معًا (لذلك $P(A \cap B) = 0$). المستقلة تعني أن أحدهما لا يؤثر على الآخر (لذلك $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$). هذه مفاهيم مختلفة تمامًا.
النرد: نقطة بداية للاحتمالات
الاحتمال الشرطي
P(A ∩ B) = P(A)·P(B|A)
يُظهر نموذج المساحة كيف تتحد الاحتمالات الشرطية — وكيف يحدد بايز P(A | B).
P(A) = 0.5، P(B) = 0.4 و P(A∩B) = 0.2. هل A و B مستقلان؟
P(A)×P(B) = 0.5 × 0.4 = 0.2، وهو يساوي P(A∩B)، لذا هما مستقلان.
P(A) = 0.5، P(B) = 0.4، P(A∩B) = 0.2. ما هو P(A∪B)؟
P(A∪B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7.
إذا كانت A و B مستحيلة الحد معًا، فإن P(A∩B) = 0.
الأحداث المستحيلة الحد معًا لا يمكن أن تحدث معًا، لذا فإن تقاطعها له احتمال 0.
الأحداث المستحيلة الحد معًا تكون دائمًا مستقلة.
إذا كانت A و B مستحيلة الحد معًا (وكلاهما له P > 0)، فإن P(A∩B) = 0 ≠ P(A)×P(B)، لذا فهما ليسا مستقلين.
الاحتمال الشرطي
- الشرطي:Chance of $A$ given $B$ has happened:
- اختبار الاستقلال: تحقق مما إذا كان $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$.
المنحنى الطبيعي: الاحتمال هو المساحة تحته، متمركز حول المتوسط الحسابي
P(A∩B) = 0.2 و P(B) = 0.4. ما هو P(A | B)؟
P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0.2/0.4 = 0.5.
مثال محلول — مخططات الشجرة
- يحتوي كيس على 3 كرات حمراء و2 كرات زرقاء. تم سحب كرةين دون إرجاع.
- P(كلاهما أحمر) = $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} = 0.3$.
- P(واحدة من كل نوع) = $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} + \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{20} + \dfrac{6}{20} = 0.6$.
على مخطط الشجرة، اضرب الاحتمالات على طول الفروع، ثم اجمع المسارات التي تريدها.
جيب يحتوي على 3 حمراء و2 زرقاء. تم سحب اثنان دون إرجاع. P(كلاهما أحمر) = (3/5)(2/4). أوجد القيمة.
(3/5) × (2/4) = 6/20 = 0.3.
جيب يحتوي على 3 حمراء و2 زرقاء، تم السحب دون إرجاع. رتب الخطوات لحساب P(كلاهما أحمر).
على الشجرة، اضرب الاحتمالات على طول الفرع المختار، ثم بسّط.
مخططات فين والجداول ثنائية الأبعاد
- مخططات فين تُظهر الأحداث المتداخلة بصريًا — التقاطع هو $A \cap B$.
- الجداول ثنائية الأبعاد تنظم البيانات حسب فئتين — اقرأ الاحتمالات الشرطية من الصف أو العمود المعني.
- احسب الترتيبات بـ التباديل (الترتيب مهم) والتوافيق (الترتيب غير مهم).
لقد فهمت الأمر
- الجمع (أو): $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$
- الضرب (و، مستقل): $P(A\cap B) = P(A)P(B)$
- الشرطي: $P(A\mid B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$؛ اختبر الاستقلالية باستخدام $P(A\cap B) = P(A)P(B)$