3 · الهندسة والمثلثات

تركيز HL المعتمد. أول تقييم 2021؛ مستمر حتى 2028. دورات التقييم الأولي-2029 منفصلة. تظل المتطلبات الأخرى للمعلمة والتقييم والعمل العملي كما هي مسجلة.

المتطلبات السابقة: قراءة الكميات والوحدات المعلنة، واستخدام الحساب وشرط النموذج أدناه. طور كل درس طريقته الخاصة قبل النقل المستقل.

هذه أمثلة تعليمية أصلية أو خيالية صراحةً، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات مُقيّمة مكتملة من المتعلمين.

هل يتغير الحجم بنفس مقيار الطول؟

• نموذج له أطوال ثلث طول الجسم الحقيقي. كم صغر مساحة وحجمه؟
• يدرس هذا الدرس معامل القياس: المضاعف الذي يربط بين الأطوال المقابلة في الأشكال المتشابهة.

اختر البنية الرياضية

• للأشكال المتشابهة بمعامل قياس الطول k، تتغير المساحات بمقدار k² والحجوم بمقدار k³. اذكر أسباب الزوايا صراحةً. مماس الدائرة عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

إذا كان معامل الطول من النموذج إلى الواقع هو 3، فإن مساحة نموذجية قدرها 12 سم² تعطي 12×3²=108 سم²، وحجم نموذجي قدره 8 سم³ يعطي 8×3³=216 سم³. أسطوانة نصف قطرها r=3، وطولها h=5 يكون حجمها πr²h=45π.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• الزوايا المتساوية وحدها لا تحدد التشابه، بل لا تحدد الحجم المتساوي. استخدم الأطوال المقابلة بنفس الترتيب. حول الوحدات الخطية قبل حساب المساحة أو الحجم، أو قم بتربيع/تكعيب عامل التحويل بشكل صحيح.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

مضاعفة كل طول في جسم صلب تضاعف حجمه. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهك.

فسّر موقفًا جديدًا

• يجب أن يذكر الإثبات الهندسي اسم النظرية ذات الصلة، ويحدد الزاوية المتساوية أو النسبة، ويستنتج النتيجة. الرسم المقياسي يعتبر دليلاً فقط عندما يسمح السؤال بالقياس.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

المضاعف الذي يربط بين الأطوال المقابلة في الأشكال المتشابهة. اختر العلاقة، ووضح الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.

أي ضلع يحتاجه السلم؟

• يصل سلم إلى ارتفاع 4 م بينما يكون جذعه على مسافة 3 م من الجدار. ما هي الجوانب المعروفة، وما هو الزاوية التي نحتاجها؟
• تدرس هذه الدرس الوتر: الجانب المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم.

اختر البنية الرياضية

• في المثلث القائم a²+b²=c²؛ sinθ=المقابل/الوتر، cosθ=المجاور/الوتر وtanθ=المقابل/المجاور. للمثلثات الأخرى، استخدم قاعدة الجيب أو جيب التمام، أو المساحة=ab sin C/2.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

طول السلم هو c=√(3²+4²)=5 م. زاويته مع الأرض تحقق tanθ=4/3، لذا θ≈53.1°. بجانبين 6 و8 يحيطان بزاوية 60°، فإن c²=6²+8²-2×6×8 cos60°=52.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• عرّف الجوانب بالنسبة للزاوية المختارة. بايثاغورس يتطلب زاوية قائمة. قد يؤدي خطأ وضع الآلة الحاسبة للزوايا إلى نتيجة تبدو منطقية لكنها خاطئة. احتفظ بالقيم غير المقربة للخطوات اللاحقة.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

ينطبق بايثاغورس على كل مثلث، بما في ذلك المثلثات الخالية من الزاوية القائمة. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.

فسّر موقفًا جديدًا

• استخدم مخططاً أو منظراً أمامياً لمسألة ثلاثية الأبعاد قبل تطبيق قاعدة المثلث. اشرح لماذا يحتوي المثلث المختار على الطول أو الزاوية المطلوبة.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

الجانب المقابل للزاوية القائمة في المثلث القائم. اختر العلاقة، اعرض الطريقة، تحقق من افتراضاتها وفسّر النتيجة.

كم مسافة يقطع الحافة؟

• تدور عجلة وتغطي قوساً. الراديان يسمح لزاويتها بالاتصال مباشرة بالمسافة المقطوعة على طول الحافة.
• تدرس هذه الدرس الراديان: الزاوية المحصورة بقوس طوله يساوي نصف القطر.

اختر البنية الرياضية

• بالنسبة لـ θ بالراديان، طول القوس s=rθ ومساحة القطاع A=r²θ/2. استخدم sin²θ+cos²θ=1 ومتطابقات الزوايا للتبسيط أو الحل. اذكر كل حل في الفترة المحددة.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

لـ r=4 و θ=π/3، يكون s=4π/3 و A=8π/3. بحل sin x=1/2 في 0≤x<2π نحصل على x=π/6 و 5π/6. ولـ sin2x=1/2، حل أولاً في 0≤2x<4π قبل القسمة على 2.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• الآلة الحاسبة تعطي قيمة رئيسية واحدة لجيب التمام العكسي. ولا تعطي كل الحلول. والقسمة على sin x قد تحذف حلولاً حيث sin x=0؛ تحقق من هذه الحالة أولاً.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

إن القيمة الرئيسية لجيب التمام العكسي هي دائماً الحل الوحيد في دورة كاملة. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.

فسّر موقفًا جديدًا

• اختر متطابقة تقلل المعادلة إلى دالة مثلثية واحدة. احتفظ بالزوايا المعتادة الدقيقة قدر الإمكان، وتحقق من كل حل مع المعادلة الأصلية.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

الزاوية المحصورة على قوس طولها يساوي نصف قطره. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.

لماذا الإزاحة أقصر من المسير؟

• المشي مسافة 4 م شرقاً و3 م شمالاً يعطي إزاحة مقدارها 5 م، على الرغم من أن المسافة المقطوعة هي 7 م.
• تدرس هذه الدرس المحصلة: مجموع المتجهات الذي يمثل الإزاحة أو القوة المركبة.

اختر البنية الرياضية

• أضف مركبات المتجه المقابلة. الإزاحة من A إلى B هي OB-OA. المتجهات المتوازية هي مضاعفات قياسية. للمتجه مقدار واتجاه؛ والمسافة كمية قياسية.
• حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

• تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

مع a=(4,1) و b=(1,3)، فإن a+b=(5,4). حاصل الضرب القياسي هو a·b=4×1+1×3=7. مقدار a هو √17. بالنسبة لـ A=(1,2)، B=(5,5)، فإن AB=(4,3) و |AB|=5.

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

• ترتيب الطرح مهم: BA=-AB. إثبات التوازي يتطلب علاقة ضرب قياسي؛ الرسم التوضيحي وحده غير كافٍ. التكبير السلبي يعكس الموقع بالنسبة لمركزه.
• عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

AB وBA لهما دائماً نفس المكونات. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي ينتهكه.

فسّر موقفًا جديدًا

• بالنسبة للإزاحة، يستخدم كل نقطة نفس الإزاحة. لمسائل الخط المتقدمة، فرّق بين متجه الموضع ومتجه الاتجاه وحل المعادلات البارامترية بشكل متسق.
• الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

• التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
• قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

مجموع المتجهات الذي يمثل الإزاحة أو القوة المركبة. اختر العلاقة، بيّن الطريقة، تحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.