4 · الإحصاء والاحتمالات

دبلومة البكالوريا الدولية · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · HL · الموضوع 4

4.1

النطاق والشروط المسبقة

تركيز HL المعتمد. أول تقييم 2021؛ مستمر حتى 2028. دورات التقييم الأولي-2029 منفصلة. تظل المتطلبات الأخرى للمعلمة والتقييم والعمل العملي كما هي مسجلة.

المتطلبات السابقة: قراءة الكميات والوحدات المعلنة، واستخدام الحساب وشرط النموذج أدناه. طور كل درس طريقته الخاصة قبل النقل المستقل.

هذه أمثلة تعليمية أصلية أو خيالية صراحةً، وليست قياسات فعلية أو تحقيقات مُقيّمة مكتملة من المتعلمين.

مفردات تدريب

English	العربية
frequency density/ˈfriːkwənsi ˈdensɪti/	كثافة التكرار
conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/	احتمال مشروط
expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/	القيمة المتوقعة

4.2

ملخص البيانات، والخرائط التكرارية، والتفسير

هل يمكن لمتوسط واحد أن يحكي القصة كاملة؟

مجموعتان لهما نفس الوسيط لكن مع تباين مختلف. لا يمكن ملخص واحد أن يصف الموقع والاستقرار معاً.
تدرس هذه الدرس كثافة التردد: التردد مقسوماً على عرض الفئة، ويستخدم كارتفاع في المدرج التكراري.

اختر البنية الرياضية

قارن متوسطاً ومناسباً للتباين في السياق. يستخدم المدرج التكراري المساحة للتردد، لذا الارتفاع = التردد / عرض الفئة. تقديرات البيانات المجمعة تفترض قيمًا ممثلة داخل الفئات.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$\overline x=\frac{\sum x_i}{n},\qquad \mathrm{density}=\frac{\mathrm{frequency}}{\mathrm{class\ width}}$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

فئة من 10 إلى 20 بتردد 30 لها كثافة 30/10=3. فئة من 20 إلى 40 بتردد 20 لها كثافة 20/20=1. لا ينبغي الخلط بين العمود الأعرض لها وكثافة أكبر. للقيم 2,4,4,6,9، الوسيط هو 4 والمتوسط الحسابي هو 5.

ملخصات البيانات، المدرجات التكرارية والتفسير — مخطط تعليمي أصلي

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

الشريط الأعلى في المدرج التكراري لا يعني بالضرورة احتوائه على أكثر الملاحظات. المتوسط للبيانات المجمعة هو تقدير. الارتباط لا يثبت السببية، والاستقراء يتجاوز النطاق الملاحظ.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

ارتفاع شريط المدرج التكراري يساوي دائماً تكراره، حتى مع عدم تساوي أعرض الفئات. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح أي تعريف أو افتراض ينتهكه.

فسّر موقفًا جديدًا

اختر تمثيلاً يناسب نوع البيانات. قدّم مقارنة عددية وما تعنيه للسكان؛ ولا تستنتج دقة أكبر مما تدعمه العينة.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

التردد مقسوماً على عرض الفئة، ويستخدم كارتفاع في المدرج التكراري. اختر العلاقة، وبيّن الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسّر النتيجة.

4.3

الاحتمالات، والأشجار، والاستدلال الشرطي

ماذا يتغير بعد السحب الأول؟

يحتوي كيس على 3 قطعاً حمراء و2 قطعة زرقاء. أخذ قطعتين بدون إرجاع يغير احتمال اللون الثاني.
تدرس هذه الدرس الاحتمال الشرطي: احتمال حدث ما بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد.

اختر البنية الرياضية

اضرب على طول فرع شجري وأجمع الفروع المنفصلة. مع الإرجاع، يبقى التركيب ثابتاً. الاحتمال الشرطي هو P(A given B)=P(A∩B)/P(B)، بشرط أن يكون P(B)>0.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\qquad P(B)>0$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بدون إرجاع، P(أحمران)=3/5×2/4=3/10. P(واحد من كل نوع)=3/5×2/4+2/5×3/4=3/5. إذا كان P(A∩B)=0.12 وP(B)=0.3، فإن P(A بشرط B)=0.4.

الاحتمالية والأشجار والاستدلال الشرطي — المخطط التعليمي الأصلي

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

events منفصلة تعني عدم وجود تقاطع؛ independent يعني أن معرفة حدث واحد لا تغير احتمال الحدث الآخر. eventان منفصلان باحتمال موجب ليسا مستقلين.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

events منفصلة ذات احتمالات موجبة يجب أن تكون مستقلة. هذا الادعاء خاطئ. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه هذا الادعاء.

فسّر موقفًا جديدًا

الجدول ثنائي الاتجاه يجعل المقام المقيود مرئياً. قبل استخدام حاصل الضرب P(A)P(B)، برر الاستقلال من السياق أو المعلومات المقدمة.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

احتمال حدث ما بعد تقييد فضاء العينة على شرط محدد. اختر العلاقة، وأظهر الطريقة، وتحقق من افتراضاتها، وفسر النتيجة.

4.4

نماذج ذات الحدين، والطبيعية، وبواسون

ما الذي يجعل العد قابلاً للتنبؤ؟

يعد مفتش الجودة عدد العناصر المعيبة. العدد عشوائي، لكن يمكن لنموذج ما وصف نطاقه المحتمل.
تدرس هذه الدرس القيمة المتوقعة: المتوسط المرجح بالاحتمالات لمتغير عشوائي.

اختر البنية الرياضية

يتطلب النموذج الثنائي n ثابتاً، وتجارب مستقلة، ونتيجتين، و p ثابت. E(X)=np و Var(X)=np(1-p). بالنسبة لنموذج normal استخدم z=(x-μ)/σ. يصف نموذج بوزون العدادات بمعدل ثابت وفرضيات استقلالية مناسبة.
حدد المدخلات المسموحة والوحدات قبل الحساب. يجب أن يعبر المعادلة عن العلاقة، وليس فقط تسجيل إدخال الآلة الحاسبة.

راجع حالة مدروسة بعناية

$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad X\sim B(n,p)$$

تحقق من النتيجة مقابل الكميات الأولية. عوض في العلاقة الأصلية، أو قارن بين الرسم البياني والإجابة العددية عند الاستلزام.

مثال:

بالنسبة لـ X ثنائية التوزيع(5,0.2)، P(X=0)=0.8^5=0.32768، E(X)=1 وVar(X)=0.8. بالنسبة لكمية طبيعية بـ μ=100، σ=15، فإن القيمة 130 لها z=2. متوسط بواسون قدره 3 في الساعة يعطي متوسط 6 خلال ساعتين.

نماذج التوزيع الثنائي والطبيعي وبواسون — الرسم التعليمي الأصلي

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

ليس كل عدّ هو توزيع ثنائي الحد: تغيير p أو وجود اعتماد يمكن أن يلغي صلاحيته. بالنسبة للمتغير المستمر، يكون احتمال قيمة واحدة دقيقة مساوياً للصفر. تصحيح الاستمرارية مهم عند تقريب توزيع متقطع بتوزيع طبيعي.
عندما تفشل طريقة مختصرة، حدد الافتراض الذي تخالفه. احتفظ بالقيمة الدقيقة حتى التحويل النهائي المطلوب.

تحذير:

كل عدّ للنجاحات له توزيع ثنائي الحد بغض النظر عن الاعتماد. هذا الادعاء غير صحيح. اشرح التعريف أو الافتراض الذي يخالفه.

فسّر موقفًا جديدًا

اكتب الحدث على شكل متباينة قبل استخدام دوال التوزيع في الآلة الحاسبة. ميّز بين P(X<k)، P(X≤k) ومتمم الذيل. عرّف الافتراضات في السياق.
الحل الكامل يعطي النتيجة الرياضية ويشرح معناها. تحقق من إمكانية حدوثه في السياق المعلن.

استخدم هذا في دورتك الدراسية

التقييم الأول الحالي-2021 التحليل والنهج HL. هذا دعم مفاهيمي مكتوب؛ يجب استخدام الدليل الكامل لتوثيق كل هدف.
قدم الطريقة قبل الإجابة النهائية، واستخدم قواعد الآلة الحاسبة والصيغ الورقية. راجع إجابة خاطئة عن طريق تحديد الخطوة الأولى غير الصالحة.

المفتاح:

المتوسط المرجح بالاحتمالات للمتغير العشوائي. اختر العلاقة، اعرض الطريقة، تحقق من افتراضاتها وتفسير النتيجة.

دروس تفاعلية حول هذا الموضوع

ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.

4 · الإحصاء والاحتمالات

النطاق والشروط المسبقة

ملخص البيانات، والخرائط التكرارية، والتفسير

هل يمكن لمتوسط واحد أن يحكي القصة كاملة؟

اختر البنية الرياضية

راجع حالة مدروسة بعناية

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

فسّر موقفًا جديدًا

استخدم هذا في دورتك الدراسية

الاحتمالات، والأشجار، والاستدلال الشرطي

ماذا يتغير بعد السحب الأول؟

اختر البنية الرياضية

راجع حالة مدروسة بعناية

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

فسّر موقفًا جديدًا

استخدم هذا في دورتك الدراسية

نماذج ذات الحدين، والطبيعية، وبواسون

ما الذي يجعل العد قابلاً للتنبؤ؟

اختر البنية الرياضية

راجع حالة مدروسة بعناية

اختبر طريقًا مختصرًا مغريًا

فسّر موقفًا جديدًا

استخدم هذا في دورتك الدراسية

دروس تفاعلية حول هذا الموضوع

المزيد من المواضيع في دبلومة البكالوريا الدولية · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · HL

تسجيل الدخول أو إنشاء حساب

موضوعك

جميع الأقسام

تغذية راجعة ومساعدة