CM.4 · Constraints, variational equations and cyclic coordinates

GRE Subject Test · GRE Physics · الموضوع 26

26.1

القيود، المعادلات التباينية والإحداثيات الدورية

يتغير توتر الخيط في البندول طوال حركة التأرجح، ولكن يمكن اشتقاق معادلته الزاوية دون الحاجة لإيجاد قيمة التوتر.

المواصفات المسبقة: 1، 47.

اشتق حركة أويلر-لاغرانج بعد فرض قيد هولونومي
استخدم إحداثيًا دوريًا لتحديد زخم كانهالي محفوظ
خطية حالة توازن مستقرة وتحقق من التردد الناتج

English	العربية
holonomic constraint/ˌhɒləˈnɒmɪk kənˈstreɪnt/	قيود كاملة
cyclic coordinate/ˈsaɪklɪk kəʊˈɔːdɪnət/	الإحداثي الدوري
Euler-Lagrange equation/ˈɔɪlə ˈlæɡreɪndʒ ɪˈkweɪʒn/	معادلة أويلر-لاغرانج

26.2

اختر إحداثيات مستقلة

قيد يزيل إحداثيًا مستقلًا قبل تكوين الطاقة الحركية. للندفة ذات الطول الثابت اختر θ من العمودي للأسفل: x=l sinθ و y=−l cosθ. باشتقاق الإحداثيين نحصل على v²=l²θdot²، وليس l² sin²θ θdot². لذا T=ml²θdot²/2 و V=mgl(1−cosθ)، مع صفر للجهد في الأسفل. الطول الثابت قيد هولونومي: هو علاقة بين الإحداثيات وربما الزمن. قيد سرعة الدوران يحتاج تحليلًا خاصًا؛ لا تعامل كل قيد تلقائيًا كتعويض إحداثي.

26.3

اشتق المعادلة

للقيود المثالية والنظام المحافظ المعتاد، معادلة الفعل المستقر هي d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 مع L=T−V. الاختلافات تنعدم عند طرفي الزمن. الندفة تعطي ∂L/∂θdot=ml²θdot و ∂L/∂θ=−mgl sinθ، لذا ml²θddot+mgl sinθ=0. مشتق الزخم يؤثر على كل عامل تابع للزمن: لنصف قطر متغير، d(mr²θdot)/dt يحتوي على 2mr rdot θdot. طريقة الاختلاف لا تعني حفظ الطاقة الميكانيكية في نظام تابع للزمن.

26.4

أوجد الزخم الدوري

للحركة المركزية المستوية، L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). الزاوية θ دورية لأن L لا تعتمد صراحة على θ، رغم اعتمادها على θdot. زخمها الكانوني pθ=mr²θdot ثابت. المعادلة الشعاعية هي m rddot=mrθdot²−dV/dr. الحد الأول جزء من تسارع الإحداثيات، وليس قوة حقيقية خارجية جديدة في إطار قصوري. حفظ pθ يجعل السرعة الزاوية تزداد كلما قل r؛ السرعة الزاوية الثابتة حالة مختلفة مدفوعة خارجيًا.

26.5

خطّية مع شروط

قريباً من نقطة توازن مستقرة q0، قم بفك V إلى الرتبة الثانية واستخدم قصراً محلياً ثابتاً M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. بعد ذلك، يكون تردد الإزاحة الصغيرة هو sqrt(V″/M). للقلّاعة، sinθ≈θ بالراديان، لذا ω=sqrt(g/l)؛ يتطلب التقريب سعة صغيرة. تعطي V″ السالبة عدم استقرار، وليس اهتزازاً بتردد خيالي قابل للقياس. تحقق أولاً من المعادلة غير الخطية الكاملة، ثم نصّ التقريب وقارن الوحدات: يجب أن تكون وحدات V″/M معكوس التربيع الزمني.

26.6

طريقة محلولة

لطول قلّاعة ثابت l، استخدم theta من العمودي للأسفل: x = l sin theta, y = -l cos theta. كلا سرعتي الإحداثيات الديكارتية يعطي $T=ml^2\dot\theta^2/2$ و $V=mgl(1-\cos\theta)$. معادلة أويلر-لاغرانج — هي

$$\frac d{dt}(ml^2\dot\theta)+mgl\sin\theta=0.$$

قسّم على $ml^2$ قبل الخطّية:

$$\ddot\theta+(g/l)\sin\theta=0,\qquad\omega=\sqrt{g/l}\quad(|\theta|\ll1).$$

يعتمد التقريب على الراديان. تتلاشى تغيرات النقاط الطرفية في اشتقاق الفعل الثابت.