القيود، معادلات التباين والإحداثيات الدورية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| holonomic constraint/ˌhɒləˈnɒmɪk kənˈstreɪnt/ | قيود كاملة |
| cyclic coordinate/ˈsaɪklɪk kəʊˈɔːdɪnət/ | الإحداثي الدوري |
قرار قبل الإجابة
- تتغير توتر البندول خلال حركة التأرجح، لكن يمكن اشتقاق معادلته الزاوية دون الحاجة إلى حل معادلة التوتر.
- هدفك: اشتقاق معادلات الحركة لأويلر–لاغرانج بعد فرض قيد هولونومي.
اختر إحداثيات مستقلة
- القيد يزيل إحداثياً مستقلاً قبل تكوين الطاقة الحركية. للبندول بطول ثابت، اختر θ من الاتجاه الرأسي للأسفل: x=l sinθ و y=−l cosθ. بتفاضل الإحداثيين معاً نحصل على v²=l²θdot²، وليس l² sin²θ θdot².
- بالتالي T=ml²θdot²/2 و V=mgl(1−cosθ)، مع اعتبار الصفر كطاقة وضع عند الأسفل. الطول الثابت هو قيد هولونومي: فهو علاقة بين الإحداثيات وربما الزمن. قيود السرعة الدوارة تحتاج إلى تحليل خاص بها؛ لا تعامل كل قيد تلقائياً كتعويض في الإحداثيات.
For a pendulum angle θ measured from downward vertical, which kinetic energy uses both Cartesian velocity components?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Adding xdot² and ydot² gives l²θdot².
اشتق المعادلة
- بالنسبة للقيود المثالية والنظام المحفوظ المعتاد، معادلة فعل السكون هي d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 حيث L=T−V. التغيرات تتلاشى عند طرفي الزمن. بالنسبة للبندول يكون ∂L/∂θdot=ml²θdot و ∂L/∂θ=−mgl sinθ، لذا ml²θddot+mgl sinθ=0.
- مشتقة الزخم تؤثر على كل عامل يعتمد على الزمن: لنصف قطر متغير، يحتوي d(mr²θdot)/dt على 2mr rdot θdot. طريقة التباين لا تعني أن الطاقة الميكانيكية محفوظة في نظام يعتمد على الزمن.
In L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r), which statement follows from the cyclic angle?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
∂L/∂θ=0 gives d(mr²θdot)/dt=0; radius and angular speed may change.
أوجد زخم دوراني (cyclic momentum)
- لحركة مركزية مسطحة، L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). الزاوية θ دورانية لأن L لا تعتمد صراحة على θ، حتى لو كانت L تعتمد على θdot. الزخم الكانوني pθ=mr²θdot ثابت. المعادلة القطرية هي m rddot=mrθdot²−dV/dr.
- الحد الأول هو جزء من تسارع الإحداثيات، وليس قوة حقيقية جديدة موجهة للخارج في إطار قصوري. حفظ pθ يجعل سرعة الزاوية تزداد عندما يقل r؛ ثبات سرعة الزاوية حالة مختلفة تقودها外力 خارجياً.
مع l=2 م و g=10 م/ث²، فإن θddot=−5 sinθ. عند θ=0.10 راديان، التسارع الدقيق هو −0.4992 راديان/ث²، قريب من −0.500 من التقريب الخطي. فترة الزوايا الصغيرة هي 2π/sqrt(5)=2.810 ث. بالنسبة لمسار القوة المركزية، إذا تقلص r من 3 م إلى 1.5 م مع حفظ pθ، فإن θdot يتضاعف بـ 4، وليس 2.
For V=9q²/2 and local inertia M=1, small-oscillation angular frequency is ____ rad/s.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
V″=9 and sqrt(9/1)=3.
قم بالتقريب الخطي بشروط
- بالقرب من توازن مستقر q0، قم بفصل V إلى الرتبة الثانية واستخدم قصوراً محلياً ثابتاً M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. بعد ذلك، تردد الإزاحة الصغيرة هو sqrt(V″/M). للقلع sinθ≈θ بالراديان، لذا ω=sqrt(g/l); التقريب يتطلب سعة صغيرة.
- تعطي V″ السالبة عدم استقرار، وليس اهتزازاً بتردد خيالي قابل للقياس. تحقق أولاً من المعادلة غير الخطية الكاملة، ثم اذكر التقريب وقارن الوحدات: يجب أن يكون لـ V″/M وحدات مقلوب مربع الزمن.
الإحداثي الدوراني غائب عن L نفسه؛ سرعته قد لا تكون غائبة. لا تتجاهل المشتقة الزمنية لعامل r² المتغير.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
اشتقاق حركة أويلر-لاغرانج بعد فرض قيد هولونومي
The small-angle pendulum approximation is unchanged if the angle is inserted numerically in degrees.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sinθ≈θ requires radians; a degree value needs conversion.
احتفظ بالتميّزات
- قيد هولونومي — قيد يمكن التعبير عنه بعلاقة بين الإحداثيات وربما الزمن.
- إحداثي دوراني — إحداثي غائب صراحة عن الل<Floatالبلانجي، مع حفظ الزخم الكانوني تحت معادلة أويلر–لاغرانج.
- اشتق حركة أويلر–لاغرانج بعد فرض قيد هولونومي.
- استخدم إحداثيات دورية لتحديد زخم قياسي محفوظ.
- خطّ معادلة التوازن المستقر وتحقق من التردد الناتج.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.