WO.3 · Fourier symmetry and wave superposition

يمكن أن تحتوي الموجة على العديد من التوافقيات دون وجود حدود جيبية على الإطلاق. يخبرنا تناظر الانعكاس أي المعاملات تتلاشى قبل إجراء التكامل.

المستلزمات: 3، 47.

• استخدم التعامد لتحديد معاملات فورييه
• استغل التناظر الزوجي والفردية دون التخلص من الحد الثابت
• ربط سعات المكونات بالتداخل والموجات الفيزيائية

بالنسبة لدالة دورية حقيقية 2π-دورية بشكل منتظم بما يكفي، اكتب f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. المعاملات هي a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx و b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx، مع استخدام a0 عندما n=0. جيب وجيب التمام متعامدان على دورة كاملة. المتوسط هو a0/2، وليس a0؛ احتفظ بالحد الثابت حتى عندما تختفي جميع معاملات الترددات غير الصفرية لأحد الأسرتين.

إذا كانت f زوجية حول نقطة الأصل المختارة، فإن f(x)sin(nx) فردية وتكاملها المتماثل يساوي صفراً، لذا تنعدم جميع b_n. إذا كانت f فردية، فإن متوسطها وجميع a_n تنعدم. يعتمد التماثل على نقطة الأصل: إزلاق نفس الإشارة الفيزيائية قد يخلط معاملات الجيب وجيب التمام بينما يبقى ترددها التوافقي دون تغيير. لذلك يمكن لإشارة مثلثية غير سالبة متماثلة حول x=0 أن تحتوي على توافقات جيب التمام ومتوسط غير صفري دون أي توافقات جيب.

بالنسبة لتمديد 2π-دوري لـ f(x)=|x| على [−π,π]، يكون المتوسط π/2. بالتكامل بالأجزاء لـ x cos(nx) على [0,π] نحصل على a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²)، لذا معاملات جيب التمام ذات n الزوجي تساوي صفراً ومعاملات n الفردية تساوي −4/(πn²). جميع معاملات الجيب تساوي صفراً. تناقص 1/n² يعكس دالة مستمرة مع انقطاع في الميل. غالباً ما يعطي الانقطاع القفزي تناقصاً أبطأ للمعاملات وتجاوزاً في المجموع الجزئي؛ لا تستنتج نفس سلوك التقارب لكل إشارة.

يجمع مجموع فورييه السعات مع أطوارها. بالنسبة لسعات أحادية اللون متساوية A تتقابل بفارق طور φ، تكون سعة المحصلة المربعة 2A²(1+cosφ)، لذا الكثافة هي 2I0(1+cosφ). إنها 4I0 عند التوافق وتصبح صفراً عند φ=π. إزالة الحدود المتقاطعة بالتوسط غير المترابط تعطي 2I0. يمكن للتوافقيات ذات الترددات المختلفة أن تشكل شكلاً بمرور الوقت؛ لكن مجموعها اللحظي ليس مجموع كثافاتها الفردية. حدد ما إذا كان السؤال يتعلق بإشارة موجية أو قدرة متوسطة زمنياً أو تداخل مترابط.

بالنسبة لدالة دورية حقيقية، استخدم $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. التماثل الزوجي يجعل جميع معاملات الجيب صفراً لأن الدالة المُكاملة فردية. لـ $f(x)=|x|$ على $[-\pi,\pi]$،

التكامل بالتجزئة يوفر التعبير الثاني. المتوسط هو $a_0/2=\pi/2$؛ تبقى فقط التوافقيات جيب التمام الفردية. لا يبرر وجود الزاوية الحادة تجاهل الحد الثابت.

التناظر الزوجي يلغي معاملات الجيب، ولا يلغي الحد الثابت أو كل توافق جيب التمام. تحقق من نقطة الأصل للتناظر وما إذا كانت الحقول متسقة قبل جمع الشدات.

الاعتدالية: تكامل حاصل ضرب دوال الأساس المختلفة يساوي صفراً على الفترة المحددة.

معامل فورييه: وزن مركبة الجيب أو جيب التمام أو الثابت في التوسيع الدوري.