EM.1 · Electrostatic superposition, flux and conductors

GRE · GRE Subject Test · GRE Physics · الموضوع 13

13.1

التراكب الكهروستاتيكي والتدفق والموصلات

يمكن أن يكون الموصل المشحون خالياً من المجال الكهربائي داخل مادته بينما يبقى جهده غير صفري.

المتطلبات المسبقة: 2، 47.

اجمع قوى كولوم كمتجهات باستخدام الهندسة الفعلية
احسب التدفق بناءً على التماثل أو الزاوية الصلبة مع تحديد اتجاه واضح
حدد حقول الموصلات وطاقاتها باستخدام الشحنات السطحية المستحثة

English	العربية
solid angle/ˈsɒlɪd ˈæŋɡl/	الزاوية الصلبة
induced surface charge/ɪnˈdjuːst ˈsɜːfɪs tʃɑːdʒ/	الشحنة السطحية المستحثة
Electrostatic equilibrium/ɪˌlektrəʊˈstætɪk ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/	التوازن الكهروستاتيكي

13.2

اختر النظام والنموذج

بالنسبة لشحنة نقطية Q عند الموضع r0، فإن E(r)=Q(r−r0)/(4πε0|r−r0|³). اجمع المتجهات وليس مقادير الحقول. بالنسبة لشحنتين موجبتين تجذبان إلكتروناً، تتضاف القوى في نفس الاتجاه وتطرح في الاتجاه المعاكس، بينما تُركّب المكونات العمودية باستخدام نظرية فيثاغورس. عيّن نقطة الرصد واتجاه كل قوة أولاً. الجهد هو المجموع القياسي V=ΣQ/(4πε0r) مع الصفر عند اللانهاية. لا يعني الجهد الصفري عادةً مجالاً صفرياً، حيث أن E=−∇V.

13.3

استخدم العلاقة الحاكمة

قانون غاوس هو التكامل السطحي المغلق ∮E·dA=Q_enclosed/ε0. يحدد هذا القانون الحقل المحلي بسهولة فقط عندما يجعل التماثل الحقل العمودي منتظماً أو يجعل مساهمات التدفق الأخرى صفراً. الشحنة القريبة من مستوى لا نهائي ترسل نصف تدفقها الكلي عبر ذلك المستوى: المستوى يحجب زاوية صلبة قدرها 2π من أصل 4π. النتيجة مستقلة عن المسافة والموقع الأفقي، لكن إشارتها تعتمد على اتجاه عمود المستوى المختار وإشارة الشحنة. المستوى المفتوح لا يحيط بشحنة؛ استخدام صيغة سطح مغلق له يعتبر غير صحيح.

13.4

طبق الشروط

في الاتزان الكهروستاتيكي، يكون الحقل الكهربائي داخل المادة الموصلة صفرياً ويكون للموصل جهد ثابت. ضع شحنة Q في مركز قشرة كروية موصلة بنصف قطر داخلي a ونصف قطر خارجي b وشحنة صافية q. يتطلب سطح غاوس داخل المادة وجود شحنة سطحية داخلية مقدارها −Q، وبالتالي تكون الشحنة السطحية الخارجية q+Q. التماثل الكروي يجعل الحقل الخارجي كما لو كان ناتجاً عن الشحنة الكلية Q+q في المركز. جهد المادة (مع الصفر عند اللانهاية) هو (Q+q)/(4πε0b)، وهو مستقل عن نصف قطر الرصد داخل المادة.

13.5

تحقق من النتيجة

في التجويف الخاص بتلك القشرة ذات الشحنة المركزية، يكون الحقل Q/(4πε0r²) شعاعياً من أجل 0<r<a. يتضمن الجهد مساهمة الشحنة النقطية ومساهمات القشرة الثابتة؛ الاستمرارية محفوظة عبر كل سطح حتى مع القفز في الحقل العمودي عند شحنة سطحية. حافظ على فصل التجويف ومادة الموصل والخارج. الشحنة غير المركزية لا تزال تستحث شحنة داخلية كلية مقدارها −Q، لكن حقل التجويف لم يعد مجرد حقل شعاعي مركزي بسيط. يتبع الحقل الصفري الداخلي للموصل حالة الاتزان، وليس افتراض أن توزيع الشحنات السطحية موحد دائماً.

13.6

طريقة محلولة

توجد شحنة نقطية مركزية Q داخل قشرة كروية موصلة بشحنة صافية q. يجعل الاتزان الكهروستاتيكي الحقل صفرياً داخل المعدن. سطح غاوس في المعدن يحيط بشحنة صافية صفرية، لذا $Q_{inner}=-Q$. تعطي守恒 الشحنة $Q_{outer}=q+Q$. مع نصف قطر خارجي b وصفر للجهد عند اللانهاية،

$$V_{metal}=\frac{q+Q}{4\pi\epsilon_0b} =\frac{(9.0\times10^9\,\mathrm{N\,m^2/C^2})(1.0\times10^{-9}\,\mathrm C)}{0.30\,\mathrm m}=30\,\mathrm V.$$

هنا Q = +2 nC و q = -1 nC. التجويف ليس مادة موصلة؛ لا يجب أن ينعدم حقله بالضرورة.