ج.9 · عوامل التكامل ومعادلات التفاضل غير المتجانسة

تحضير GRE للطلاب الجامعيين. أهداف محلية ضمن نطاق ETS المراجَع؛ هذا تعليم أصلي، وليس اختباراً رسمياً أو تنبئاً بالدرجات.

المتطلبات المسبقة: قاعدة ضرب الرتبة الأولى، والدوال الأسية والمعادلات المميزة.

• حل المعادلات الخطية من الرتبة الأولى باستخدام عامل التكامل
• بناء الجزء المتجانس والجزء الخاص من الحل ثابت المعاملات
• التعامل مع الرنين والتحقق من النتيجة في المعادلة الأصلية

عامل التكامل: مضاعف يحول المعادلة الخطية من الرتبة الأولى إلى مشتقة جداء.

الحل الخاص: حل واحد يوفر الإجبار غير المتجانس المحدد.

المعادلة الخطية من الرتبة الأولى تأخذ الشكل y′+p(x)y=q(x) على فترة تكون فيها معاملاتها متصلة. ولا يشترط أن تكون قابلة للفصل. ضع μ(x)=exp(∫p(x)dx). بما أن μ′=pμ، فإن الضرب يعطي (μy)′=μq، ومنه y=μ⁻¹(∫μq dx+C). اختر أي مشتقة عكسية مناسبة لـ p؛ ثابت تكاملها يعيد مقياس μ فقط ويختفي من الحل. طبق البيانات الأولية بعد التكامل، واحتفظ بأي نقاط لمعاملات مفردة خارج الفترة المختارة.

بالنسبة لـ y′+2xy=x مع y(0)=1، فإن μ=e^(x²). إذن (e^(x²)y)′=x e^(x²)، ومشتقتها هي e^(x²)/2+C. وبالتالي y=1/2+C e^(−x²)، وتوفر الشرط الأولي C=1/2. التحقق بالتعويض المباشر يفحص y′+2xy=x. يجعل عامل التكامل الجانب الأيسر مشتقة جداء؛ إنه ليس عاملاً إضافيًا يبقى مضروبًا للجانب الأيمن الأصلي في الإجابة النهائية.

بالنسبة لـ ay″+by′+cy=r(x) حيث a غير صفر، حل المعادلة المميزة aλ²+bλ+c=0 للجزء المتجانس. الجذور الحقيقية المختلفة تعطي دالتين أسيتين؛ جذر مكرر λ يعطي (C₁+C₂x)e^(λx)؛ جذور α±iβ تعطي e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx). الحل الكامل هو y_h+y_p. يشير إجبار كثير حدود إلى تجربة خاصة بكثير حدود؛ يشير إجبار أسّي أو جيب/جيب تمام إلى العائلة المقابلة، بما يكفي من المعاملات لحساب الاشتقاق.

إذا كانت التجربة الخاصة مكررة للحل المتجانس، فلا يمكنها إنتاج الإجبار: اضرب في x مرة لجذر بسيط، ومرة لجذر مكرر. بالنسبة لـ y″−3y′+2y=e^x، يتم إبطال Ke^x البديهي. محاولة Kxe^x تعطي −Ke^x، لذا y_p=−xe^x. تحدد الشروط الأولية ثوابت الجزء المتجانس فقط بعد إضافة y_p. عوض الدالة النهائية في المعادلة الأصلية للتحقق من الإشارات والإجبار؛ لا يمكن للتحقق من القيم الأولية وحده التحقق من المعادلة التفاضلية.

بالنسبة لـ y″−3y′+2y=4، الجذور المميزة هي 1 و 2. حل خاص ثابت y_p=2 يعطي 2y_p=4، إذن y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2. بالنسبة لـ y′+2xy=x و y(0)=1، الحل المنفرد من الرتبة الأولى هو y=(1+e^(−x²))/2. هذه أمثلة لطرق مختلفة؛ لا تصبح أي من المعادلات متجانسة لمجرد أن طرفها الأيسر خطي.

احتفظ بالحل الخاص. تحتاج التجربة الرنّية لعامل x. اشتقاق عامل التكامل ينطبق على فترة معامل صالحة ولا ينبغي القسمة على y أو تجاهل الحلول الصفراء بصمت.

حل $y'+2y=e^x$، $y(0)=1$، بعامل تكامل. تحقق من الإجابة مباشرة.

حل نموذجي

المعاملات متصلة في كل مكان. عامل التكامل هو $\mu=e^{2x}$. الضرب يعطي $(e^{2x}y)'=e^{3x}$. التكامل يعطي $y=e^x/3+Ce^{-2x}$. الشرط الأولي ينتج C=2/3، لذا $y=e^x/3+2e^{-2x}/3$. الاشتقاق يعطي $y'=e^x/3-4e^{-2x}/3$؛ إضافة 2y يعطي $e^x$، و y(0)=1.

حل $y''-2y'+y=e^x$ مع $y(0)=0,y'(0)=0$. اشرح لماذا لا يعتبر neither $Ke^x$ nor $Kxe^x$ تجربة خاصة كافية.

تحقق بعد المحاولة

الجذر المتجانس هو 1 مع تعددية ثنائية، لذا $y_h=(C_1+C_2x)e^x$. كلا الحلين التجريبيين المقترحين ينتميان بالفعل إلى تلك الفضاء المتجانس ويتم إسقاطهما. ضع $y=e^xv$؛ ثم $y''-2y'+y=e^xv''$. لذلك $v''=1$ و$v=x^2/2+C_2x+C_1$. توفر شرطان ابتدائيان $C_1=C_2=0$، ومنه $y=x^2e^x/2$. هذا التعويض يتحقق أيضًا من المؤثر دون الاعتماد فقط على القيم الابتدائية.