FP1 · Further Pure Mathematics 1

رياضيات نقية متقدمة 1 (FP1، ورقة WFM01/01، 1 ساعة 30 دقيقة، 75 علامة) إلزامي لرياضيات نقية متقدمة مستوى AS و A Level الدولي ولرياضيات نقية دولية مستوى AS و A Level. يُفترض معرفة P1–P2 وقد يتم اختبارها، بما في ذلك تحديد موقع جذور تغير الإشارة، تدوير الأشكال حول نقطة الأصل، وقسمة مكعب أو رباعي على تربيعي. هذا الإشارة يغطي الأعداد المركبة وجذور المعادلات التربيعية، والطرق العددية، و القطع المكافئ والهذبان المستطيل، وجبر المصفوفات، والتحويلات، والمتسلسلات المنتهية والإثبات بالتراجع.

لازم المعرفة لـ FP1 (غير مدرج في الكتيب):

العدد المركب هو $z = a + bi$ مع $i^2 = -1$؛ يُعد $a$ الجزء الحقيقي، أما $b$ فهو الجزء التخيلي. الـ مرافق $\bar z = a - bi$ يعكس إشارة الجزء التخيلي، و$z\bar z = a^2 + b^2 = \lvert z\rvert^2$ — وهي الحيل التي يجعل المقام حقيقيًا: $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{z_1\bar z_2}{\lvert z_2\rvert^2}$. اثنان الأعداد المركبة متساويان فقط إذا تطابق كلا الجزأين الحقيقي والتخيلي. الصيغة القطرية $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ يقارن القيمة المطلقة $r$ بـالزاوية (معرفة فقط عندما $z\ne0$) $\theta$؛ عند ضرب الأعداد المركبة نضرب معاييرها ($\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert$).

مثال محلول — مجموع حقيقي يثبت الجزء التخيلي. $z_1 = r(\cos\tfrac{7\pi}6 + i\sin\tfrac{7\pi}6)$ مع $r > 0$، ول $z_2$ معيار 5. بما أن $\lvert z_1z_2\rvert = \lvert z_1\rvert\lvert z_2\rvert = 5r = 15$، نحصل على $r = 3$. إذن $z_1 = 3(-\tfrac{\sqrt3}2 - \tfrac12i) = -\tfrac{3\sqrt3}2 - \tfrac32 i$. إذا كان $z_1 + z_2$ عدداً حقيقياً، فإنجزئه التخيلي يساوي صفرًا، لذا $z_2 = a + \tfrac32 i$؛ ومن ثم $a^2 + \tfrac94 = 25$ يعطي $a = \pm\tfrac{\sqrt{91}}2 \approx \pm4.77$. كل من $z_2 = \tfrac{\sqrt{91}}2 + \tfrac32i$ وانعكاسه في المحور التخيلي صحيحان.

على مخطط أرجاند (Argand diagram)، ارسم $z = a + bi$ كنقطة $(a, b)$: يكون الجمع جمعاً شعاعياً، والمرافق يعكس عبر المحور الحقيقي، و$\lvert z\rvert$ هي المسافة من نقطة الأصل.

لمعادلة تربيعية بمعاملات حقيقية ومميز سالب، أكمل المربع: $x^2 - 6x + 13 = (x-3)^2 + 4 = 0$ يعطي $x = 3 \pm 2i$. الجذور تشكل زوجًا مترافقًا — و هذا ينطبق على الدرجة: إذا كان $f(z_1) = 0$ بمعاملات حقيقية، فإن $f(\bar z_1) = 0$ أيضًا. لذلك، يكون للمكعب الحقيقي إما ثلاث جذور حقيقية أو جذر حقيقي واحد بالإضافة إلى زوج مترافق، و $(z - z_1)(z - \bar z_1) = z^2 - 2\operatorname{Re}(z_1)z + \lvert z_1\rvert^2$ هو عدد حقيقي عامل تربيعي. قسّمه للحصول على الباقي.

مثال محلول — معادلة من الدرجة الرابعة بجذر مركب معطى (WFM01 يونيو 2025 Q7). $f(z) = Pz^4 - 36z^3 + Qz^2 + 192z + 68$ له جذر $3 + 5i$، لذا $3 - 5i$ هو أيضًا جذر و

كتابة $f(z) = (z^2 - 6z + 34)(Pz^2 + bz + c)$ ومقارنتها: $34c = 68$ لذا $c = 2$؛ $-6c + 34b = 192$ لذا $34b = 204$، $b = 6$؛ ثم $b - 6P = -36$ يعطي $P = 7$ و $c - 6b + 34P = Q$ يعطي $Q = 204$. (تحقق من $f(3+5i) = 0$: المعادلة الحقيقية $644P + 16Q = 7772$ صالحة، بما أن $644(7) + 16(204) = 4508 + 3264 = 7772$.) الجذور الأخرى تحل $7z^2 + 6z + 2 = 0$:

بدون الآلة الحاسبة: يُستخدم فقط حساب $b^2 - 4ac < 0$ وحقيقة الترافق.

بالنسبة لـ $ax^2 + bx + c = 0$ بجذري $\alpha, \beta$: $\alpha + \beta = -\tfrac ba$ و $\alpha\beta = \tfrac ca$. Symmetric expressions in $\alpha, \beta$ then need no individual الجذور: $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$، $\alpha^3 + \beta^3 \equiv (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$، و$\tfrac1\alpha + \tfrac1\beta = \tfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$. لبناء معادلة تربيعية جديدة، عبّر عن المجموع الجديد و الحاصل الجديد بدلالة القديمين؛ المعادلة هي $x^2 - (\text{sum})x + \text{product} = 0$.

Worked example — new roots without solving (WFM01 June 2025 Q6). $f(x) = 3x^2 + kx - 5$ له جذر $\alpha, \beta$، لذا $\alpha\beta = -\tfrac53$. إذا $\alpha + \beta = 9\alpha\beta$، ثم $-\tfrac k3 = -15$، لذا $k = 45$ و$\alpha + \beta = -15$. لجذور $\alpha^2 + \beta$ و$\alpha + \beta^2$:

المعادلة الجديدة هي $9x^2 - 1920x - 31040 = 0$ (اضرب $x^2 - \tfrac{640}3x - \tfrac{31040}9 = 0$ في 9).

ثلاثة مواقع تكرارية: التقسيم الثنائي والتقطيع يتطلبان دالة متصلة على مجالهما؛ نيوتن-رافسون يتطلب أيضًا مشتقة معرفة وغير صفرية في كل خطوة وقد يفشل في التقارب. تقسيم المجال يُقلّل مجالًا يحتوي على تغير إشارة؛ التقطيع الخطي يرسم وترًا من $(a, f(a))$ إلى $(b, f(b))$ ويأخذ صفر الوتر $\beta \approx a - \dfrac{(b-a)f(a)}{f(b)-f(a)}$؛ طريقة نيوتن-رافسون

• (معطاة في الكتيب) تُكرّر $x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. أظهر كل تقييم — لا تُمنح درجات للإجابات "الحاسبة فقط".

مثال محلول — التقسيم الثنائي والتقطيع (WFM01 يونيو 2025 السؤال3). (i) لـ $f(x) = x^2 + 5 - 8^{5x}$ جذر واحد $\alpha$ في $[0, 1]$: $f(0) = 4 > 0$، $f(0.5) = 5.25 - 8^{2.5} = -175.77 < 0$، لذا نقسّم: $f(0.25) = 5.0625 - 8^{1.25} = -8.392 < 0$. تقع التغير الإشارة في $[0, 0.25]$. (ii) لـ $g(x) = 3^{\sin x} - 3\cos x$ (بالراديان): $g(4) = 2.396 > 0$ و$g(5) = -0.502 < 0$، و $g$ متصلة، لذا يوجد جذر $\beta$ يقع في $[4, 5]$. بتقطيع مرة واحدة: $\beta \approx 4 + \dfrac{2.396}{2.396 + 0.502} = 4.827$ (4 s.f.).

نيوتن-رافسون (المثال الأصلي). حل $x^3 - 2x - 5 = 0$ من $x_0 = 2$: $f(2) = -1$، $f'(x) = 3x^2 - 2$ لذا $f'(2) = 10$ و$x_1 = 2 - \tfrac{-1}{10} = 2.1$؛ ثم $f(2.1) = 0.061$، $f'(2.1) = 11.23$، $x_2 = 2.0946$. تقترب التكرارات من الجذر، تقريبًا $2.09455$ (تحقق: $2.0946^3 - 2(2.0946) - 5 \approx +0.0005$).

الـقطع المكافئ $y^2 = 4ax$ له الصيغة البارامترية $x = at^2$، $y = 2at$؛ الـ الزائدية المستطيلة $xy = c^2$ لها $x = ct$، $y = \tfrac ct$. المماسات والعموديات الأعمدة العمودية تُشتق من المعادلة الديكارتية (التفاضل البارامتري ليس $y^2 = 4ax$ يعطي $\tfrac{dy}{dx} = \tfrac{2a}y = \tfrac1t$ لذا $t$ $xy = c^2$ gives $y = \tfrac{c^2}x$ so $\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{c^2}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$ عند $x = ct$.

مثال محلول — عمود على قطع زائد (WFM01 يونيو 2025 سؤال4). بالنسبة لـ $xy = 81$ عند $P(9t, \tfrac9t)$: $\tfrac{dy}{dx} = -\tfrac{81}{x^2} = -\tfrac1{t^2}$، لذا العمود له ميل $t^2$:

At the $y$-axis, $A = (0, \tfrac{9(1-t^4)}t)$. With $t = \tfrac13$: $P = (3, 27)$ and $A = (0, \tfrac{80}3)$، لذا المثلث $OPA$ مساحته $\tfrac12 \times 3 \times \tfrac{80}3 = 40$.

المحور $(a, 0)$. المسافات، وليس الجبر، هي ما يحل مسائل الهندسة. المُستقيم الموجه $x = -a$. المسافات، وليس الجبر، تفتح أسئلة الهندسة.

مثال محلول — مسافات البؤرة والموجه (WFM01 يونيو 2025 Q9). $P$ يقع على القطع المكافئ على بُعد 5 من البؤرة، لذا فإن $P$ يبعد أيضًا 5 عن المُوجِّه ($PF = PM = 5$، حيث $PM$ عموديًا على المُوجِّه). النقاط $Q, R$ على المُوجِّه تحقق $PQ = PR = 10$. كل $PQM$ و $QM = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt3$، لذا $M$. بين $Q$ و$R$، وبالتالي $QR = 10\sqrt3$.

تُجمع المصفوفات عن طريق العناصر (بنفس الشكل)، وتُضرب بعامل مقياسي عنصرًا بعنصر، وتُضرب صفًا بعمود ($(\mathbf{AB})_{ik} = \sum_j A_{ij}B_{jk}$؛ $\mathbf{AB} \ne \mathbf{BA}$ بشكل عام). بالنسبة لـ مصفوفات $2\times 2$ $\det\mathbf M = ad - bc$: الصفر يعني singular (لا يوجد معكوس)؛ وإلا فإن $\mathbf M^{-1} = \dfrac1{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$، و $\mathbf M\mathbf M^{-1} = \mathbf I$. المعكوسات تعكس الترتيب: $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$ — ألغِ التحويل الأخير أولاً.

مثال محلول — معكوس يجب أن يبقى متسقاً (WFM01 يونيو 2025 سؤال1). $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&a\\3&-5\end{pmatrix}$ مع $a \ne -\tfrac53$:

بموجب $\mathbf M^{-1} = 2\mathbf M + 8\mathbf I = \begin{pmatrix}10&2a\\6&-2\end{pmatrix}$، قارن العناصر: $\dfrac{-3}{-(5+3a)} = 6$ يعطي $5 + 3a = \tfrac12$، وكل عنصر آخر يثبت ذلك، لذا $a = -\tfrac32$.

مصفوفة $2\times 2$ $\mathbf M$ تحول المتجهات العمودية عن طريق $\mathbf y = \mathbf{Mx}$؛ أعمدتها هي صور $\mathbf i$ و$\mathbf j$ — اقرأ أي تحويل مباشرة من المصفوفة. النتائج القياسية: خارج المصفوفة. النتائج القياسية:

بالنسبة للتراكيب، $\mathbf{AB}$ تعني "تطبيق $\mathbf B$ أولاً، ثم $\mathbf A$". التحويل العكسي يلغي ذلك، و$\lvert\det\mathbf M\rvert$ هو معامل مقياس المساحة: تتضرب المساحات في المحدد (المحددات السالبة تضيف انعكاسًا).

مثال محلول — وصف وتجميع التحويلات (WFM01 يونيو 2025 Q2). يُجسِّد $\mathbf P = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ $\mathbf i \to (0,-1)^T$ ويحول $\mathbf j \to (1,0)^T$: دوران ربع في اتجاه عقارب الساعة (270° عكس اتجاه عقارب الساعة) حول $O$. $\mathbf Q = 5\mathbf I$ هو تكبير، معامل مقياس 5، مركز $O$. الانعكاس في $y = -x$ is $\mathbf R = \begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}$, so $A = \mathbf R(4,3)^T = (-3,-4)$. If $\mathbf Q$ follows $\mathbf P$ and maps $B$ to $A$, then $B = \mathbf P^{-1}\mathbf Q^{-1}A = \mathbf P^{-1}\cdot\tfrac15(-3,-4)^T = \tfrac15(4,-3)^T = (0.8, -0.6)$ — $\mathbf P$'s own inverse is its transpose, so this is arithmetic only.

مع $\sum_{r=1}^n r = \tfrac12 n(n+1)$ (و$\sum r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1)$ من booklet), any polynomial summand splits into standard pieces — including sums to an even الحد $2n$ (التعويض بـ $k = 2n$ في الصيغ القياسية) والمجاميع المنزاحة مثل $\sum (r+1)^2$.

مثال محلول — مجموع إلى 2n (WFM01 يونيو 2025 Q8a). أظهِر $\sum_{r=1}^{2n}(2r^2 - 1) = \tfrac43 n(n+1)(an + b)$:

و$4n^2 + 3n - 1 = (n+1)(4n - 1)$، وبالتالي يكون المجموع $\tfrac43n(n+1)(4n-1)$: $a = 4$، $b = -1$. (تحقق من $n = 1$: $1 + 7 = 8$ و$\tfrac43\cdot1\cdot2\cdot3 = 8$.)

الاستقراء يثبت عبارة $P(n)$ لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة في ثلاث خطوات: تحقق من $P(1)$؛ افترض $P(k)$؛ استنتج $P(k+1)$ منه — ثم أغلق بـ "صحيحة لـ $n = 1$،" والصحة لـ $n = k$ تستلزم صحة لـ $n = k+1$، لذا فإنها صحيحة لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة بالاستقراء. الأعداد الصحيحة $n$. الجملة الختامية جزء من البرهان. أربعة عائلات مُقيَّمة: المجموع الصيغ، القابلية للقسمة، المتتاليات المعطاة بدالة تكرارية، وقوى المصفوفات.

مثال محلول — مجموع (WFM01 يونيو 2025 Q8b). برهن $\sum_{r=1}^n r(3r-2)^2 = \tfrac14 n^2(n+1)(9n-7)$. من أجل $n = 1$: الطرف الأيسر $= 1\cdot1^2 = 1$ والطرف الأيمن $= \tfrac14\cdot1\cdot2\cdot2 = 1$ — صحيح. افترض صحته من أجل $n = k$؛ الحد الـ$(k+1)$ هو $(k+1)(3k+1)^2$، لذا

فك القوس: $9k^3 - 7k^2 + 36k^2 + 24k + 4 = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$. الهدف لـ $n = k+1$ هو $\tfrac14(k+1)^2(k+2)(9k+2)$، وقوسه $(k+1)(k+2)(9k+2)$ يُفك كـ $(k^2+3k+2)(9k+2) = 9k^3 + 29k^2 + 24k + 4$ — مطابق. إذن العبارة صحيحة من أجل $n = k+1$، وبالتبرين الاستقائي لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة $n$.

القابلية للقسمة (مثال أصلي). برهن أن $n^3 + 2n$ يقبل القسمة على 3. من أجل $n = 1$: $3$. افترض $k^3 + 2k = 3m$؛ إذن $(k+1)^3 + 2(k+1) = (k^3 + 2k) + 3k^2 + 3k + 3 = 3(m + k^2 + k + 1)$، وهو لا يزال مضاعفاً لـ3. بالتبرين الاستقائي، صحيح لجميع $n$.

قوى المصفوفات (مثال أصلي). برهن $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}$. صحيح من أجل $n = 1$. إذا كان صحيحاً من أجل $k$، فإن $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}^{k+1} = \begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&k+1\\0&1\end{pmatrix}$، مما يكمل التبرين الاستقائي.

• التعامل مع $a + bi$ و$r(\cos\theta + i\sin\theta)$: القيمة المطلقة، الزاوية، المرافق؛ الكسور التي تُجعل حقيقية.
• استخدام الأزواج المرافقة لتحليل التكعيبيات والرباعيات ذات المعاملات الحقيقية؛ إيجاد جميع الجذور بدون الآلة الحاسبة.
• تحويل التعابير المتناظرة عبر $\alpha + \beta$ و$\alpha\beta$؛ تكوين تربيعيات جديدة لجذور مُحوَّلة.
• تحديد الجذور بالثنائية والتدريج الخطي مع إظهار كل عملية حسابية؛ تكرار طريقة نيوتن-رافسون من نقطة بداية محددة.
• استخدام $y^2 = 4ax$ و$xy = c^2$ في المعادلات البارامترية؛ المماسات/الأعمدة عن طريق الاشتقاق الديكارتي؛ مسافات البؤرة-المحور.
• معكوس مصفوفات $2\times2$ (و $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$)؛ حل معادلات المصفوفات عنصراً بعنصر.
• تحديد الانعكاسات، والدوران، والتشديدات، والتكبيرات من المصفوفات؛ دمجها بالترتيب الصحيح؛ استخدام $|\det|$ كعامل مقياس المساحة.
• جمع المتسلسلات حتى $n$ و $2n$ باستخدام الصيغ القياسية؛ إثبات المتسلسلات، وقابلية القسمة، والتكرار، ونتائج المصفوفات بالتبرين بالاستقراء مع جملة ختامية.