三角函数与极坐标函数

学习目标 3.1.A： 根据文字描述构建周期性关系的图像。

• 3.1.A.1 如果在某个情境中，随着输入值的增加，输出值在连续的等长区间内呈现出重复的模式，则可以在该情境的两个方面之间识别出周期性关系。
• 3.1.A.2 可以根据单一周期的关系图像来构建整个周期性关系的图像。

学习目标 3.1.B： 根据文字描述描述周期函数的关键特征。

• 3.1.B.1 函数的 周期 是满足 $f(x + k) = f(x)$ 对所有定义域内的 $x$ 成立的最小正数 $k$。因此，周期函数的行为完全由其任意一个宽度为 $k$ 的区间所决定。
• 3.1.B.2 可以通过考察连续的等长输出值并找出模式开始重复的位置来估算周期。
• 3.1.B.3 周期函数具有其他函数的某些特征，例如递增和递减区间、不同的凹凸性以及各种变化率。然而，对于周期函数而言，在一个周期内发现的所有特征都会在函数的每一个周期中出现。

学习目标 3.2.A： 利用单位圆确定角的正弦、余弦和正切值。

• 3.2.A.1 在坐标平面中，当一个角的顶点与原点重合，且始边与 $x$ 轴正半轴重合时，该角处于标准位置。另一条射线称为终边。正角和负角的度数分别表示从 $x$ 轴正半轴逆时针或顺时针旋转的角度。具有相同终边的标准位置角相差整数个周角。
• 3.2.A.2 标准位置角的弧度数等于以原点为圆心、由该角所截得的弧长与该圆半径的比值。对于半径为 $1$ 的单位圆而言，其弧度数等于所截弧的长度。
• 3.2.A.3 给定一个标准位置的角和一个以原点为圆心的圆，终边与该圆相交于一点 $P$。该角的正弦是点 $P$ 相对于 $x$ 轴的垂直位移与原点到点 $P$ 的距离之比。因此，对于单位圆，该角的正弦即为点 $P$ 的 $y$ 坐标。
• 3.2.A.4 给定一个标准位置的角和一个以原点为圆心的圆，终边与该圆相交于一点 $P$。该角的余弦是点 $P$ 相对于 $y$ 轴的水平位移与原点到点 $P$ 的距离之比。因此，对于单位圆，该角的余弦即为点 $P$ 的 $x$ 坐标。
• 3.2.A.5 给定一个标准位置的角，该角的正切是其终边的斜率（若存在）。由于终边的斜率是任意区间内垂直位移与水平位移的比值，因此该角的正切等于终边与单位圆交点的 $y$ 坐标与 $x$ 坐标之比；或者也可以表示为该角的正弦与其余弦的比值。

学习目标 3.3.A： 确定以原点为圆心的圆上点的坐标。

• 3.3.A.1 给定一个处于标准位置的角 $\theta$ 和一个以原点为圆心、半径为 $r$ 的圆，终边与圆相交于一点 $P$。点 $P$ 的坐标为 $(r\cos\theta, r\sin\theta)$。
• 3.3.A.2 利用等腰直角三角形和等边三角形的几何性质，并结合角度所在象限决定数值的符号，可以求出终边不落在坐标轴上的 $\dfrac{\pi}{4}$ 和 $\dfrac{\pi}{6}$ 弧度整数倍角的余弦和正弦的精确值。

学习目标 3.4.A： 利用单位圆构建正弦函数和余弦函数的表示。

• 3.4.A.1 给定一个标准位置的角 $\theta$ 以及一个以原点为圆心的单位圆，终边与圆相交于一点 $P$。正弦函数 $f(\theta) = \sin\theta$ 给出点 $P$ 的 $y$ 坐标，即相对于 $x$ 轴的垂直位移。正弦函数的定义域为全体实数。
• 3.4.A.2 随着正弦函数的输入值（或角度大小）增加，其输出值在 $-1$ 到 $1$ 之间振荡，取其间的所有值，并追踪单位圆上各点到 $x$ 轴的垂直距离。
• 3.4.A.3 给定一个标准位置的角 $\theta$ 以及一个以原点为圆心的单位圆，终边与圆相交于一点 $P$。余弦函数 $f(\theta) = \cos\theta$ 给出点 $P$ 的 $x$ 坐标，即相对于 $y$ 轴的水平位移。余弦函数的定义域为全体实数。
• 3.4.A.4 随着余弦函数的输入值（或角度大小）增加，其输出值在 $-1$ 到 $1$ 之间振荡，取其间的所有值，并追踪单位圆上各点到 $y$ 轴的水平距离。

学习目标 3.5.A： 识别正弦和余弦函数的关键特征。

• 3.5.A.1 正弦型函数 是指涉及 $f(\theta) = \sin\theta$ 的加法和乘法变换的任何函数。正弦函数和余弦函数都是正弦型函数，且 $\cos\theta = \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$。
• 3.5.A.2 正弦型函数的周期和频率互为倒数。$f(\theta) = \sin\theta$ 和 $g(\theta) = \cos\theta$ 的周期为 $2\pi$，频率为 $\dfrac{1}{2\pi}$。
• 3.5.A.3 正弦型函数的振幅是其最大值与最小值之差的一半。$f(\theta) = \sin\theta$ 和 $g(\theta) = \cos\theta$ 的振幅为 $1$。
• 3.5.A.4 正弦型函数图像的中间线由函数最大值和最小值的平均值（即算术平均数）决定。$y = \sin\theta$ 和 $y = \cos\theta$ 图像的中间线为 $y = 0$。
• 3.5.A.5 随着输入值的增加，正弦型函数的图像在凹向下和凹向上之间振荡。
• 3.5.A.6 $y = \sin\theta$ 的图像关于原点具有旋转对称性，因此是奇函数。$y = \cos\theta$ 的图像关于 $y$ 轴具有反射对称性，因此是偶函数。

学习目标 3.6.A： 识别正弦函数的振幅、垂直位移、周期和相位偏移。

• 3.6.A.1 可以写成 $f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ 或 $g(\theta) = a\cos(b(\theta + c)) + d$ 形式的函数，其中 $a, b, c,$ 和 $d$ 是实数且 $a \neq 0$，均为正弦函数，并且是正弦函数和余弦函数的变换。加法和乘法变换对正弦和余弦函数是相同的，因为余弦函数是正弦函数平移 $-\dfrac{\pi}{2}$ 个单位的相位偏移。
• 3.6.A.2 正弦函数 $f(\theta) = \sin\theta$ 的加法变换 $g(\theta) = \sin\theta + d$ 的图像是将 $f$ 的图像及其中线垂直平移 $d$ 个单位的结果。余弦函数的相同变换产生相同的结果。
• 3.6.A.3 正弦函数 $f(\theta) = \sin\theta$ 的加法变换 $g(\theta) = \sin(\theta + c)$ 的图像是将 $f$ 的图像水平平移（或相位偏移） $-c$ 个单位的结果。余弦函数的相同变换产生相同的结果。
• 3.6.A.4 正弦函数 $f(\theta) = \sin\theta$ 的乘法变换 $g(\theta) = a\sin\theta$ 的图像是对 $f$ 的图像进行垂直缩放，其振幅相差 $|a|$ 倍。余弦函数的相同变换产生相同的结果。
• 3.6.A.5 正弦函数 $f(\theta) = \sin\theta$ 的乘法变换 $g(\theta) = \sin(b\theta)$ 的图像是对 $f$ 的图像进行水平缩放，其周期相差 $\left|\dfrac{1}{b}\right|$ 倍。余弦函数的相同变换产生相同的结果。
• 3.6.A.6 $y = f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ 的图像具有 $|a|$ 个单位的振幅，$\left|\dfrac{1}{b}\right|2\pi$ 个单位的周期，相对于 $y = 0$ 有 $d$ 个单位的中线垂直位移，以及 $-c$ 个单位的相位偏移。余弦函数的相同变换产生相同的结果。

学习目标 3.7.A： 构建周期现象的正弦函数模型。

• 3.7.A.1 输入值的最小区间，即最大或最小输出值开始重复的区间（亦即连续最大值或连续最小值之间的输入值区间），可用于确定或估算正弦函数模型的周期和频率。
• 3.7.A.2 最大和最小输出值可用于确定或估算正弦函数模型的振幅和垂直平移量。
• 3.7.A.3 实际的一对输入-输出值可与正弦函数模型生成的一对对输入-输出值进行比较，以确定或估算模型的相位平移量。
• 3.7.A.4 借助技术工具，可通过估算关键值或使用正弦回归为数据集构建正弦函数模型。
• 3.7.A.5 用于拟合数据集的正弦函数通常仅在其特定情境定义域内有效，可用于根据自变量的值预测因变量的值。

学习目标 3.8.A： 利用单位圆构建正切函数的表示。

• 3.8.A.1 给定一个标准位置的角 $\theta$ 以及一个以原点为圆心的单位圆，终边与圆相交于一点 $P$。正切函数 $f(\theta) = \tan\theta$ 给出了终边的斜率。
• 3.8.A.2 因为终边的斜率是射线上任意两点之间 $y$ 值的变化量与 $x$ 值的变化量之比，所以正切函数也是正弦函数与余弦函数之比。因此，$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$，其中 $\cos\theta \neq 0$。

学习目标 3.8.B： 描述正切函数的关键特征。

• 3.8.B.1 由于终边的斜率值在圆周每半圈后重复出现，正切函数的周期为 $\pi$。
• 3.8.B.2 正切函数在输入值 $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$（$k$ 为整数）处表现出周期性的渐近行为，因为在这些值处 $\cos\theta = 0$。
• 3.8.B.3 在相邻两条渐近线之间，正切函数单调递增，且其图像由上凸变为下凸（或反之）。

学习目标 3.9.A： 构建正弦、余弦和正切函数在受限定义域上的反函数的解析表示与图形表示。

• 3.9.A.1 对于反三角函数，其输入值和输出值与对应的三角函数相反，因此反三角函数的输出值通常被解释为一个角度度量，而输入值则是相应三角函数值域中的一个值。
• 3.9.A.2 反三角函数被称为 反正弦（arcsine）、反余弦（arccosine）和 反正切（arctangent），也分别表示为 $\sin^{-1}x, \cos^{-1}x,$ 和 $\tan^{-1}x$。由于对应的三角函数具有周期性，只有当它们的定义域受到限制时，才存在反函数。
• 3.9.A.3 为了分别定义它们的反函数，正弦函数的定义域被限制为 $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$，余弦函数的定义域被限制为 $[0, \pi]$，正切函数的定义域被限制为 $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$。

学习目标 3.10.A： 求解涉及三角函数的方程和不等式。

• 3.10.A.1 反三角函数在求解涉及三角函数的方程和不等式中非常有用，但由于定义域的限制，解可能需要进行调整。
• 3.10.A.2 由于三角函数具有周期性，三角方程通常存在无穷多个解。
• 3.10.A.3 在实际情境中产生的三角方程和不等式，往往隐含了来自背景条件的定义域限制，从而限制了解的数量。

学习目标 3.11.A： 识别涉及正弦与余弦函数商的函数的关键特征。

• 3.11.A.1 正割函数 $f(\theta) = \sec\theta$ 是余弦函数的倒数，其中 $\cos\theta \neq 0$。
• 3.11.A.2 余割函数 $f(\theta) = \csc\theta$ 是正弦函数的倒数，其中 $\sin\theta \neq 0$。
• 3.11.A.3 正割和余割函数的图像在余弦和正弦分别为零处具有垂直渐近线，值域为 $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$。
• 3.11.A.4 余切函数 $f(\theta) = \cot\theta$ 是正切函数的倒数，其中 $\tan\theta \neq 0$。等价地，$\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$，其中 $\sin\theta \neq 0$。
• 3.11.A.5 余切函数的图像在定义域内使 $\tan\theta = 0$ 的值处具有垂直渐近线，且在相邻渐近线之间单调递减。

学习目标 3.12.A： 利用毕达哥拉斯恒等式将三角表达式改写为等价形式。

• 3.12.A.1 毕达哥拉斯定理可应用于单位圆上坐标为 $(\cos\theta, \sin\theta)$ 的直角三角形，从而得到毕达哥拉斯恒等式：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$。
• 3.12.A.2 毕达哥拉斯恒等式可通过代数变换转化为其他涉及三角函数的形式，例如 $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$，并可用于建立其他三角关系，例如在适当的定义域限制下 $\arcsin x = \arccos\left(\sqrt{1 - x^2}\right)$。

学习目标 3.12.B： 利用正弦和余弦的和角公式将三角表达式改写为等价形式。

• 3.12.B.1 正弦的和角公式为 $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$。
• 3.12.B.2 余弦的和角公式为 $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$。
• 3.12.B.3 正弦和余弦的和角公式也可作为差角公式和二倍角公式使用。
• 3.12.B.4 可以利用三角函数的性质、已知的三角恒等式以及其他代数性质来验证更多的三角恒等式。

学习目标 3.12.C： 利用三角函数的等价解析表示法求解方程。

• 3.12.C.1 包含三角表达式的特定等价形式可以使信息更易获取。
• 3.12.C.2 等价的三角形式在求解三角方程和不等式时可能很有用。

学习目标 3.13.A： 使用直角坐标系和极坐标系确定平面内点的位置。

• 3.13.A.1 极坐标系基于以原点为中心的同心圆网格以及过原点的直线。极坐标定义为一个有序数对 $(r, \theta)$，其中 $|r|$ 表示该点所在圆的半径，$\theta$ 表示一个始边为极轴、终边经过该点的标准位置角的度量值。在极坐标系中，同一个点可以用多种方式表示。
• 3.13.A.2 极坐标系中的点 $(r, \theta)$ 的坐标可以通过公式 $x = r\cos\theta$ 和 $y = r\sin\theta$ 转换为直角坐标系中的坐标 $(x, y)$。
• 3.13.A.3 直角坐标系中的点 $(x, y)$ 的坐标可以通过公式 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ 转换为极坐标系中的坐标 $(r, \theta)$；当 $x > 0$ 时，$\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$；当 $x < 0$ 时，$\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi$。
• 3.13.A.4 复数可以理解为复平面上的一个点，并由其对应的直角坐标或极坐标确定。当复数的直角坐标为 $(a, b)$ 时，可表示为 $a + bi$；当复数的极坐标为 $(r, \theta)$ 时，可表示为 $(r\cos\theta) + i(r\sin\theta)$。

学习目标 3.14.A： 绘制极坐标函数的图像。

• 3.14.A.1 极坐标系中函数 $r = f(\theta)$ 的图像由输入值与输出值的数对组成，其中输入值为角度大小，输出值为半径。
• 3.14.A.2 极坐标函数 $r = f(\theta)$ 的定义域在图形上可以通过选择对应所需角度和半径的端点来限制为所需的函数部分。
• 3.14.A.3 当以 $r = f(\theta)$ 的形式绘制极坐标函数图像时，输入值的变化对应于从正 $x$ 轴起算的角度大小的变化，而输出值的变化对应于到原点距离的变化。

学习目标 3.15.A： 描述极函数图像的特征。

• 3.15.A.1 如果极函数 $r = f(\theta)$ 为正且递增，或为负且递减，则 $f(\theta)$ 与原点之间的距离在增加。
• 3.15.A.2 如果极函数 $r = f(\theta)$ 为正且递减，或为负且递增，则 $f(\theta)$ 与原点之间的距离在减小。
• 3.15.A.3 对于极函数 $r = f(\theta)$，如果该函数在一个区间内从递增变为递减，或从递减变为递增，则该函数在该区间上存在相对极值，对应于距离原点相对最近或最远的点。
• 3.15.A.4 $r$ 相对于 $\theta$ 在 $\theta$ 区间上的平均变化率是半径值的变化量与 $\theta$ 的变化量之比，对应于 $\theta$ 区间。从图形上看，平均变化率表示每弧度半径的变化速率。
• 3.15.A.5 $r$ 相对于 $\theta$ 在 $\theta$ 区间上的平均变化率可用于估计该区间内的函数值。