Giá trị chính xác, đồ thị và phương trình lượng giác
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| exact values/eɡˈzækt ˈvæljuːz/ | giá trị chính xác |
| trig graphs/trɪɡ ɡræfz/ | đồ thị hàm lượng giác |
| asymptotes/ˈæsɪmptəʊts/ | tiếp tuyến |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | tính đối xứng |
Các giá trị bạn cần thuộc lòng
- Một số giá trị lượng giác rất quan trọng đến mức bạn cần chúng mà không cần máy tính. Chúng đến từ hai tam giác vuông đặc biệt: $45$-$45$-$90$ và $30$-$60$-$90$.
Bảng giá trị chính xác
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | không xác định |
Mẹo ghi nhớ sin: $0, 1, 2, 3, 4$ dưới dấu căn và chia cho $2$: $\;\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$. Cosin thì ngược lại.
Xe quay Ferris: một điểm trên vành xe vẽ ra đường cong sin
Đồ thị & phương trình lượng giác
(cos θ, sin θ)
Khi θ quay, sin và cos vẽ ra sóng của chúng — và lặp lại sau mỗi 360°.
Giá trị chính xác của sin 30° là bao nhiêu? (dưới dạng thập phân)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
sin 30° = 1/2 = 0.5.
Giá trị chính xác của tan 45° là bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
tan 45° = 1 (cạnh đối = cạnh kề trong tam giác 45-45-90).
cos 60° = 1/2.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
cos 60° = 1/2 là một trong những giá trị chính xác cần ghi nhớ.
Đồ thị hàm lượng giác
- $y = \sin x$ và $y = \cos x$ là các sóng dao động giữa $-1$ và $1$.
- $y = \tan x$ lặp lại sau mỗi $180^{\circ}$ và có các đường tiệm cận đứng tại $90^{\circ}$ và $270^{\circ}$.
Đồ thị hàm lượng giác là các sóng — sin và cos dao động giữa $-1$ và $1$, tan lặp lại sau mỗi $180^{\circ}$.
Hai nghiệm. Một phương trình lượng giác thường có hai đáp án trong $0^{\circ}$–$360^{\circ}$. Với $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $x = 60^{\circ}$ hoặc $x = 180 - 60 = 120^{\circ}$. Đừng quên nghiệm thứ hai.
Giải phương trình lượng giác
- Tìm nghiệm đầu tiên bằng hàm ngược.
- Sử dụng tính đối xứng của đồ thị để tìm nghiệm thứ hai:
- Đối với giá trị sin dương trong $0^{\circ}\le x<360^{\circ}$, nghiệm thứ hai là $180^{\circ}-x$; đối với giá trị âm hãy sử dụng đồ thị nửa dưới.
- $\cos x = k$: nghiệm thứ hai là $360^{\circ} - x$.
Hai tam giác đặc biệt cho biết giá trị chính xác: tam giác $45^\circ$ và tam giác $30^\circ$-$60^\circ$
Giải sin x = √3/2 cho 0–360°. Một nghiệm là 60°. Nghiệm kia là gì (độ)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Sóng sin đối xứng qua 90°: 180 − 60 = 120°.
Giải 2cos x + 1 = 0 cho 0–360°. Một nghiệm là 120°. Nghiệm kia là gì (độ)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
cos x = −1/2 cho x = 120° hoặc 360 − 120 = 240°.
Nếu sin x = k có một nghiệm x = 40°, nghiệm thứ hai là 180 − ______ = ______°.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Nghiệm sin thứ hai là 180° − 40° = 140°.
Các ví dụ đã giải
- $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = 60^{\circ}$ hoặc $120^{\circ}$.
- $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 120^{\circ}$ hoặc $240^{\circ}$.
Giá trị lượng giác âm và phương trình tang
- Trong $0^{\circ}\le x<360^{\circ}$, $\sin x=-1/2$ mang giá trị âm phía dưới trục hoành: $x=210^{\circ},330^{\circ}$. Giá trị máy tính $-30^{\circ}$ phải được thay thế bằng giá trị tương đương $330^{\circ}$ nằm trong khoảng yêu cầu.
- Tang lặp lại sau mỗi $180^{\circ}$: $\tan x=1$ tạo ra $x=45^{\circ},225^{\circ}$ trong khoảng này. Tại $0$, $90$, $180$, $270$, $360^{\circ}$ hãy kiểm tra các điểm đầu mút và các giá trị không xác định thay vì giả định rằng mọi phương trình đều có đúng hai nghiệm.
Tìm nghiệm nhỏ hơn của sin x = −1/2 trong khoảng 0° ≤ x < 360°.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Hàm sin âm ở góc phần tư III và IV; các nghiệm là 210° và 330°.
Bạn đã nắm vững
- biết các giá trị chính xác: $\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, $\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, $\tan 45^{\circ} = 1$
- sóng sin và cos chạy giữa $-1$ và $1$
- một phương trình lượng giác thường có hai đáp án trong $0^{\circ}$–$360^{\circ}$