Đường thẳng song song và vuông góc
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| parallel/ˈpærəlel/ | song song |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | vuông góc |
| negative reciprocal/ˈneɡətɪv rɪˈsɪprəkl/ | nghịch đảo mang dấu âm |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | đường trung trực |
Đường ray xe lửa và lưới thành phố
- Đường ray xe lửa chạy song song — cùng hệ số góc, không bao giờ gặp nhau, kéo dài đến chân trời.
- Các đường phố trong một thành phố quy hoạch như New York hay Barcelona giao nhau ở góc vuông, tạo thành lưới ô vuông.
- Cả hai khái niệm — song song và vuông góc — đều quy về một thứ: hệ số góc.
Các đường thẳng song song
- Song song nghĩa là hai đường thẳng không bao giờ gặp nhau, dù bạn có kéo dài chúng xa thế nào.
- Các đường thẳng khác nhau và không đứng song song khi chúng có hệ số góc giống nhau. Các đường thẳng đứng cũng song song, nhưng không có hệ số góc xác định.
- $y = 4x - 1$ và $y = 4x + 7$ là song song (cả hai đều có $m = 4$).
Tìm một đường thẳng song song. Đường thẳng song song với $y = 4x - 1$ qua $(1, -3)$: cùng độ dốc $4$, nên $-3 = 4(1) + c \Rightarrow c = -7$. Phương trình là $y = 4x - 7$.
Các đường thẳng song song có chung hệ số góc; tích các hệ số góc vuông góc bằng $-1$
Song song & vuông góc
y = ax + b
Song song: các đường thẳng có cùng hệ số góc; Vuông góc: tích các hệ số góc bằng −1.
Một đường thẳng song song với y = 4x − 1 và đi qua điểm (1, −3). Trong y = 4x + c, giá trị c là bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Song song → cùng hệ số góc là 4. −3 = 4(1) + c, nên c = −7.
Đường thẳng nào song song với y = −2x + 5?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Các đường thẳng song song có cùng hệ số góc. y = −2x − 3 có hệ số góc là −2, giống hệt y = −2x + 5.
Các đường thẳng vuông góc (Nâng cao)
- Hai đường thẳng vuông góc nếu chúng cắt nhau tại một góc vuông ($90°$).
- Tích các hệ số góc của chúng bằng $-1$:
- Nói cách khác: đảo phân số và đổi dấu (đó là nghịch đảo đối).
- Hệ số góc $\dfrac{3}{2}$ → hệ số góc vuông góc $-\dfrac{2}{3}$.
Song song (màu xanh lam): cùng hệ số góc. Vuông góc (màu hồng + tím): tích các hệ số góc bằng $-1$.
Một đường thẳng có hệ số góc bằng 3/2. Hệ số góc của đường thẳng vuông góc với nó là:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Lật ngược và đổi dấu: hệ số góc vuông góc = −1 ÷ (3/2) = −2/3.
Hai đường thẳng vuông góc có tích các hệ số góc bằng −1.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
m₁ × m₂ = −1 là tính chất xác định của hệ số góc vuông góc.
Nếu hai đường thẳng vuông góc, thì m₁ × m₂ = ______.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Tích các hệ số góc vuông góc luôn bằng −1.
Ví dụ minh họa — đường thẳng vuông góc
- Tìm đường thẳng vuông góc với $y = 2x + 3$ qua $(4, 1)$.
- Hệ số góc ban đầu $m_1 = 2$, nên hệ số góc vuông góc $m_2 = -\dfrac{1}{2}$.
- Thay thế: $1 = -\dfrac{1}{2}(4) + c \Rightarrow 1 = -2 + c \Rightarrow c = 3$.
- Đường thẳng vuông góc là $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.
Đừng quên cả hai bước. Hệ số góc vuông góc phải là đảo DẤU. Hệ số góc $3$ → vuông góc $-\dfrac{1}{3}$ (không phải $\dfrac{1}{3}$, vì đó chỉ là nghịch đảo).
Một đường thẳng có hệ số góc bằng 5. Hệ số góc của đường thẳng vuông góc với nó là bao nhiêu?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Hệ số góc vuông góc = −1/5 = −0.2.
Đường trung trực (Nâng cao)
- Đường trung trực của một đoạn thẳng chia đôi nó tại một góc vuông.
- Phương pháp (ba bước):
- 1. Tìm trung điểm của đoạn thẳng.
- 2. Tìm hệ số góc vuông góc ($-\dfrac{1}{m}$).
- 3. Sử dụng hệ số góc vuông góc và trung điểm để viết phương trình.
Nối mỗi cặp hệ số góc (m₁, m₂) với mối quan hệ giữa các đường thẳng.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2/3 × (−3/2) = −1 → vuông góc. 4 = 4 → song song. 1 × (−1) = −1 → vuông góc. 5 × (−5) = −25 ≠ −1 và 5 ≠ −5 → không phải loại nào.
Sắp xếp các bước để tìm đường trung trực của đoạn thẳng nối (0, 0) và (6, 2).
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
Đầu tiên tìm điểm chính giữa, sau đó tìm hệ số góc của đoạn thẳng, tiếp theo lật ngược và đổi dấu để có hệ số góc vuông góc, cuối cùng thay vào y = mx + c.
Quy hoạch đô thị và quy tắc hệ số góc
- Lưới đường phố Manhattan được quy hoạch vào năm 1811 với các đại lộ chạy từ bắc xuống nam và các đường phố chạy từ đông sang tây — tất cả đều vuông góc.
- Ngược lại, các thành phố châu Âu cổ có những con đường giao nhau ở mọi góc độ — không có quy tắc hệ số góc nào cả.
- Các kỹ sư sử dụng hệ số góc vuông góc để thiết kế nút giao thông, cầu vượt đường sắt, và móng nhà.
Bạn đã nắm vững
- song song → cùng hệ số góc ($m_1 = m_2$)
- vuông góc → tích các hệ số góc bằng $-1$ ($m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$, "đảo và đổi dấu")
- đường trung trực = hệ số góc vuông góc đi qua trung điểm
- song song với $y = 4x - 1$ qua $(1, -3)$ → $y = 4x - 7$