Căn bậc hai (Surds)

Con số đã phá vỡ tư duy của người Hy Lạp

• Đường chéo của hình vuông đơn vị là $\sqrt{2} \approx 1.41421356\dots$ — các chữ số không bao giờ lặp lại và không bao giờ kết thúc.
• Không phân số nào bằng chính xác nó. Đó là lý do ta gọi nó là surd: căn vô tỷ mà ta giữ nguyên ở dạng chính xác.

Surd là gì?

• Một surd là căn không thể rút gọn thành số hữu tỷ.
• $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt[3]{10}$ là surds — chúng là vô tỷ.
• $\sqrt{4} = 2$ và $\sqrt[3]{27} = 3$ không phải surds — chúng rút gọn thành số nguyên.

Surd đến từ đường chéo: một $1 \times 1$ hình vuông có đường chéo $\sqrt{2}$; một $2 \times 2$ hình vuông có đường chéo $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Quy tắc về surd

• $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ — gộp chung dưới một dấu căn.
• $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ — chia chung dưới một dấu căn.
• Rút gọn bằng cách đưa thừa số hoàn toàn bình phương lớn nhất ra ngoài:

Rationalising the denominator (Trục căn thức ở mẫu)

• Phân số có surd ở mẫu chưa ở dạng tối giản.
• Nhân cả tử và mẫu với surd để loại bỏ nó khỏi mẫu:

Tại sao nên giữ surd ở dạng chính xác?

• $\sqrt{2} \approx 1.414$ là một xấp xỉ; $\sqrt{2}$ là chính xác.
• Trong kỹ thuật và vật lý, làm tròn quá sớm gây sai số tích lũy — giữ surd giúp bảo toàn độ chính xác qua các phép tính dài.

Giống như căn thức và mẫu số có hai số hạng

• Rút gọn từng căn thức trước: $\sqrt{200}-\sqrt{32}=10\sqrt2-4\sqrt2=6\sqrt2$. Chỉ kết hợp các phần căn thức giống nhau.
• Đối với $1/(\sqrt3-1)$, nhân với liên hợp $\sqrt3+1$: mẫu số sẽ là $(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=3-1=2$. Do đó kết quả là $(\sqrt3+1)/2$; phân số nhân bằng 1.

Bạn đã nắm vững