Phân tích mạch II (AC)

Đây là khóa học thứ tư trong Kỹ thuật Điện Đại học: Phân tích mạch AC — các mạch bị điều khiển bởi tín hiệu sin, đó là cách hầu hết phân tích — mạch được dẫn bởi tín hiệu hình sin, đó là cách hầu hết năng lượng điện được tạo ra và di chuyển. Sóng 1 giải quyết DC; các công cụ EE02 (số phức, phương trình vi phân, Laplace) giờ tự trả lại giá trị.

• Đơn vị 4.1 biến tín hiệu hình sin thành toán học: phasor và trở kháng.
• Đơn vị 4.2–4.4 áp dụng nó: công suất AC, ba pha, đáp ứng bậc hai và cộng hưởng.
• Đơn vị 4.5–4.7 mở rộng góc nhìn: bộ lọc và biểu đồ Bode, thuật ngữ mạch miền s dạng cực so với dạng tọa độ, hoặc miền thời gian so với số học phức.

Mỗi đơn vị bắt đầu bằng một câu chuyện, trình bày hình ảnh trước khái niệm chính thức, định nghĩa chính xác, làm việc với hai ví dụ tăng dần mà số của chúng là xác minh bởi máy tính, nêu những sai lầm kinh điển, và kết thúc bằng bản tóm tắt ba dòng. Thói quen kiểm tra trong khóa học này: mọi đáp án Boolean đều được xác minh bởi tóm tắt. Thói quen kiểm tra: mỗi câu trả lời phasor đều được xác minh trong một giây biểu diễn — cực đối với tọa độ, hoặc miền thời gian chống lại toán học phức. Toán học phức chỉ là ghi chép sổ sách; các kiểm tra giữ cho nó thực tế.

Điện áp nguồn đi qua điểm không một trăm lần mỗi giây, nhưng điện trở ở đó tiêu thụ công suất ổn định — vì biên độ và pha thiết lập thành một mẫu lặp lại. Một tín hiệu hình sin $v(t) = V_{m}\cos(\omega t + \varphi)$ trở thành véc-tơ quay $V = V_{m}\angle\varphi$ — bao gồm biên độ và pha, cùng với tần số đã được xác định. Vi phân nhân với $j\omega$; do đó tại một tần số mỗi phần tử đều có một trở kháng:

Tất cả các phương pháp DC — cầu chia áp, nút/mạng lưới, Thévenin — đều chuyển đổi trực tiếp mà không thay đổi khi số phức. Trở kháng của cuộn cảm tăng theo tần số (+90°); của tụ điện giảm (−90°); còn điện trở thì không đổi (0°).

Ví dụ minh họa 1 (cả hai biểu diễn đều nhất quán). $R = 30\ \Omega$ mắc nối tiếp với $L$ sao cho $\omega L = 40\ \Omega$, chịu tác dụng bởi $V = 100\angle 0^{\circ}$ V ở tần số đó. $Z = 30 + j40 = 50\angle 53.13^{\circ}\ \Omega$; $I = V/Z = (100/50)\angle(0 - 53.13^{\circ}) = 2\angle -53.13^{\circ}$ A. Kiểm tra dạng tọa độ: $I = 100(30 - j40)/2500 = 1.2 - j1.6$ A; $|I| = \sqrt{1.44 + 2.56} = 2$ ✓ and $\text{atan2}(-1.6, 1.2) = -53.13^{\circ}$ ✓. Ý nghĩa trong miền thời gian: $i(t) = 2\cos(\omega t - 53.13^{\circ})$ A — dòng chậm pha vì cuộn cảm chống lại sự thay đổi.

Ví dụ minh họa 2 (tổ hợp song song, nâng cao). Cùng một $R = 30\ \Omega$ bây giờ mắc song song với cuộn cảm $\omega L = 40\ \Omega$: $Z = \frac{30 \times j40}{30 + j40} = \frac{30 \times j40 \times (30 - j40){2500} = \frac{48\,000 + j36\,000}{2500} = 19.2 + j14.4 = 24\angle 36.87^{\circ}\ \Omega$ (verified: $|Z| = \sqrt{19.2^{2} + 14.4^{2}} = 24$ ✓, và $\cos 36.87^\circ = 0.8$ ✓). Lưu ý rằng trở kháng song song nhỏ hơn độ lớn của mỗi nhánh (24 < 30 < 40) và góc pha (36.87°) nằm dưới góc 90° của cuộn cảm, bị kéo về phía điện trở — mỗi cặp song song đều thay đổi cả độ lớn lẫn góc pha theo hướng này.

Lỗi thường gặp. Cộng các độ lớn của trở kháng song song (chỉ phép cộng số phức mới hợp lệ). Lộn lẫn chế độ độ trong cài đặt máy tính vào công thức radian. Unacht rằng phasor mang biên độ (hoặc giá trị hiệu dụng — chọn một thống nhất cho mỗi bài toán) nhất quán cho V và I.

Tóm tắt: một tần số → vectơ quay; $Z_R$ nằm ngang, $Z_L$ lên 90°, $Z_C$ xuống 90°; mọi phương pháp DC đều áp dụng được; hãy kiểm tra từng đáp án bằng cách chuyển sang biểu diễn khác.

Một bộ gia nhiệt 1 kW và một tụ điện 1 kVA cùng tiêu thụ "1 k-something" từ đường dây, nhưng chỉ phần của bộ gia nhiệt mới được tính tiền năng lượng. Với phasor $V$ và dòng điện $I$, công suất phức $S = V\cdot I^{*}$:

với $\theta$ là góc giữa V và I. Hệ số công suất $\cos\theta$ là tỷ lệ của công suất biểu kiến $|S| = VI$ thực hiện công có ích.

Ví dụ minh họa 1 (tải RL, kiểm tra hai cách). Tải ở trên: $P = 100 \times 2 \times \cos 53.13^{\circ} = 120$ W, $Q = 100 \times 2 \times \sin 53.13^{\circ} = 160$ var, $|S| = 200$ VA, pf = 0.6 lagging. Kiểm tra: $P = |I|^{2}R = 4 \times 30 = 120$ ✓ và $Q = |I|^{2}X = 4 \times 40 = 160$ ✓ — kiểm tra công thức tổn hao. Bù hệ số công suất bổ sung điện dung song phương để cung cấp công suất phản kháng tại chỗ: để bù 160 var tại 100 V (50 Hz) cần $C = Q/(\omega V^{2}) = 160/(2\pi \cdot 50 \cdot 10^{4}) = 50.9 \ μF$.

Ví dụ minh họa 2 (động cơ ba pha, nâng cao). Một động cơ kết nối sao cân bằng trên nguồn điện áp đường dây 415 V, tần số 50 Hz có trở kháng pha là $10 + j10\ \Omega$ $= 415/\sqrt{3} = 239.6$ W — và $= 239.6/\sqrt{10^{2} + 10^{2}} = 239.6/14.14 = 16.94$ A (bằng đường dây 45 W — và công thức đường $P = 3 \times 239.6 \times 16.94 \times \cos 45^{\circ} = 8611$ W — và công thức đường dây $\sqrt{3} \times 415 \times 16.94 \times 0.7071 = 8611$ W ✓ công thức two routes agree. The per-phase route also gives the missing pieces: $Q = 3 \times 239.6 \times 16.94 \times \sin 45^{\circ} = 8611$ var, pf 0.707 Lỗi thường gặp. Sử dụng điện áp đường dây trong công thức tính theo pha (cần chia cho dòng điện sẽ là $415/14.14 = 29.3$ A với dòng đường dây $\sqrt{3} \times 29.3 = 50.8$ A — the star/delta factor is exactly the $\sqrt{3}$ sổ sách kế toán.

Lỗi thường gặp. Sử dụng điện áp đường dây trong công thức mỗi pha (chia cho $\sqrt{3}$ trước). Quên rằng hệ số công suất của động cơ áp dụng cho cả hai công thức. Bù trừ hệ số công suất ở điện áp sai — tụ điện chịu điện áp tại điểm kết nối của chính nó.

Tóm tắt: $S = VI^{*}$ phân tách thành P (tính phí) và Q (vay mượn); công thức tổn thất $|I|^{2}R$, $|I|^{2}X$ là cơ sở kiểm tra; bù trừ dung tính cung cấp Q ngay tại chỗ; phân tích ba pha từng pha với $V_{line} = \sqrt{3}V_{phase}$ (đôi sao) là phương pháp cốt lõi.

Đóng công tắc trên tụ điện đã nạp trong mạch nối tiếp với cuộn cảm và dòng điện không thể nhảy bứt — cũng không đến ngay lập tức — nên đáp ứng biến đổi thông qua ít nhất một đạo hàm nhiều hơn RC từng cần. Mạch RLC nối tiếp có differential equation $L\,d^{2}i/dt^{2} + R\,di/dt + i/C = 0$, with natural frequency $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$ and damping $\alpha = R/(2L)$. Ba chế độ:

• Quá tắt dần ($\alpha > \omega_{0}$): hai hàm giảm thực, không dao động.
• Critically damped ($\alpha = \omega_{0}$): fastest non-oscillating return.
• Dưới tắt dần ($\alpha < \omega_{0}$): dao động suy giảm tại $\omega_{d} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \alpha^{2}}$.

Worked example 1 (regime arithmetic). $R = 4\ \Omega$, $L = 0.2$ H, $C = 0.05$ — suy giảm tới hạn ($\omega_{0} = 1/\sqrt{0.2 \times 0.05} = 10$). $\alpha = 4/(2 \times 0.2) = 10$ — tắt dần tới hạn ($\alpha = \omega_{0}$). Change $R$ to 2 Ω: $\alpha = 5 < 10$, underdamped with $\omega_{d} = \sqrt{100 - 25} = 8.66$ rad/s. Bài kiểm tra chế độ là một phép so sánh; còn hệ số chất lượng Q $Q = \omega_{0}/(2\alpha)$ bằng 0.5 ở tắt dần tới hạn và 1 tại $R = 2\ \Omega$ — tắt dần nhẹ (Q cao) dao động lâu hơn.

Ví dụ minh họa 2 (các số mũ quá cản, đã được kiểm chứng bằng máy tính, được nâng cấp). Với $R = 8\ \Omega$ (cùng $L$, $C$): $\alpha = 20 > 10$ — tắt dần quá mức, và hai điện áp tụ được giải phóng từ 2 V là $v_0(t) = A e^{-2t} + B -20 \pm \sqrt{300}$, i.e. $-2.68$ and $-37.32$ s⁻¹ (đã xác minh máy). Điện áp capacitor voltage released from 1 V is $v_{C}(t) = A e^{-2.68t} + B e^{-37.32t}$ with $A + B = 1$ and $dv_{C}/dt(0) = 0$ (no instantaneous ngay lập tức), dẫn đến $A = 37.32/(37.32 - 2.68) = 1.077$, $B = -0.077$: một sự giảm nhanh ban đầu trên nền suy giảm chậm. Kết quả đo: chỉ số nhanh xác định các thời điểm đầu tiên; còn chỉ số chậm ($-2.68$, giá trị gần gốc tọa độ hơn) chi phối phần đuôi — đúng với quy tắc cực thống nhất EE02 trong biến đổi Laplace.

Lỗi thường gặp. So sánh $R$ với $2\sqrt{L/C}$ thay vì so sánh $\alpha$ với $\omega_{0}$ — cùng một phép thử, nhưng hãy viết lại theo đúng mô tả. Sử dụng $\omega_{0}$ ở vị trí $\omega_{d}$ thuộc về (những dao động bạn thấy chính là tần số tắt dần). Bỏ sót điều kiện ban đầu thứ hai: hai bộ lưu trữ năng lượng sẽ tạo ra hai hằng số.

Tóm tắt: $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$, $\alpha = R/2L$, ba chế độ thông qua một phép so sánh; $\omega_{d}$ là dao động nhìn thấy được; chỉ số chậm chi phối phần đuôi; hai bộ lưu trữ → hai hằng số → hai phép kiểm tra biên.

Mạch thu sóng của radio chọn ra một đài phát thanh duy nhất khỏi dải tần đông đúc bằng cách làm cho một tần số trở nên đặc biệt: tại cộng hưởng các phần ảo triệt tiêu lẫn nhau, $\omega_{0}L = 1/(\omega_{0}C)$, tức là $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$. Có $Z = R$ (thuần trở, giá trị tối thiểu), dòng điện đạt cực đại, và băng thông $BW = R/L = \omega_{0}/Q$. Hai thành phần của trở kháng triệt tiêu lẫn nhau mặc dù mỗi thành phần đơn lẻ có thể rất lớn — $V_{L}$ và $V_{C}$ đều có thể vượt quá điện áp nguồn theo hệ số Q.

**Ví dụ minh họa 1 (khuếch đại điện áp, đã kiểm chứng). $R = 5\ \Omega$, $L = 0.1$ H, $C = 10\ \mu F$: $\omega_{0} = 1/\sqrt{0.1 \times 10^{-5}} = 1000$ rad/s; $Q = \omega_{0}L/R = 1000 \times 0.1/5 = 20$. Tại nguồn 10 V, dòng điện tại cộng hưởng là $10/5 = 2$ A, và $V_{L} = \omega_{0}LI = 200$ V — twenty times the source. Check: $V_{C} = I/(\omega_{0}C) = 2/0.01 = 200$ V ✓; cả hai đều bằng 200 V, lệch pha 180°, tổng bằng không.

**Ví dụ minh họa 2 (dải bán công suất, nâng cao). Mạch tương tự có băng thông: $BW = \omega_{0}/Q = 1000/20 = 50$ rad/s, và các tần số bán công suất tính được là $\omega_{1} = 975.3$, $\omega_{2} = 1025.3$ rad/s — hiệu của chúng là 50.0 ✓ (đã xác minh máy). Chúng nằm gần như đều ở hai phía của 1000; chính xác là $\omega_{1}\omega_{2} = \omega_{0}^{2}$ (đối xứng trên trục logarit). $|Z| = \sqrt{2}R = 7.07\ \Omega$ so với giá trị cực đại, và mỗi phần tử phản kháng giữ $1/\sqrt{2}$ lần điện áp nguồn — vẫn là khuếch đại, nhưng $Q/\sqrt{2} \approx 14$ lần điện áp nguồn — vẫn là khuếch đại, chỉ vượt quá đỉnh. Đây là độ chọn lọc mà bộ thu bán ra: tại 900 rad/s (một trạm lân cận cách xa hai băng thông) dòng điện giảm xuống còn $10/\sqrt{R^{2} + (\omega L - 1/\omega C)^{2}} = 10/|5 + j(90 - 111.1)| = 10/21.7 = 0.46$ A — nhỏ hơn một phần tư dòng cộng hưởng 2 A.

Lỗi thường gặp. Báo cáo hệ số khuếch đại $Q$ mà không kiểm tra phần tử khác (cả hai phải khớp). Sử dụng $f_{0}$ thay vì $\omega_{0}$ (yếu tố $2\pi$). tin rằng cộng hưởng tối đa hóa công suất ở mọi trở kháng nguồn — nó tối thiểu hóa |Z|, chỉ tối đa hóa dòng điện đối với nguồn cứng.

Tóm tắt: $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$, |Z| = R tại đó, BW = ω₀/Q giữa các điểm công suất nửa; mỗi điện áp phản kháng là Q·nguồn; kiểm tra hệ số khuếch đại trên cả hai phần tử.

Bộ tăng âm trầm là một bộ lọc: một dải được nâng lên, các dải còn lại không thay đổi. Bộ lọc truyền qua một dải và suy hao các dải khác; hàm truyền $H(j\omega)$ có biên độ và pha. Biểu đồ Bode biểu diễn $20\log_{10}|H|$ theo dB Ví dụ tính toán 20 (bản sao băng thông cao, kiểm tra máy, nâng cấp). Ví dụ minh họa. Một bộ lọc thấp RC với $\omega_{c} = 1/(RC)$, 20:

Ví dụ minh họa 1 (bộ lọc thấp, đã kiểm tra điểm cuối). Bộ lọc thấp RC với $R = 1.6$ kΩ, $C = 0.1\ \mu F$: $\omega_{c} = 1/(1600 \times 10^{-7}) = 6250$ rad/s (995 Hz). At $\omega_{c}$ the gain is $1/\sqrt{2} = -3$ dB và pha −45°; tại $10\omega_{c}$, xấp xỉ đường thẳng cho giá trị −20 dB (exact −20.04). Kiểm tra các đầu mút: ở tần số thấp $H = 1$ (0 dB), tại $100\omega_{c}$ ≈ −40 dB — mỗi decade vượt qua điểm cắt sẽ giảm 20 dB, đây là toán học decibel $20\log_{10}10 = 20$.

Worked example 2 (the high-pass mirror, machine-verified, escalated). Chuyển đầu ra sang điện trở tạo thành mạch lọc thông cao với cùng $\omega_{c} = 6250$ rad/s: $H(j\omega) = (j\omega/\omega_{c})/(1 + j\omega/\omega_{c})$. At $0.1\omega_{c}$: $-20.04$ dB at $+84.3^{\circ}$; tại $\omega_{c}$: $-3.01$ dB tại $+45^{\circ}$; tại $10\omega_{c}$: $-0.04$ dB tại $+5.7^{\circ}$ (tất cả đều được xác minh bằng máy tính) — bản sao chính xác của bộ lọc thấp, với pha dẫn trước và dải ngăn nằm phía dưới thay vì phía trên. Đọc thiết kế: độ dốc cắt 40 dB/decade cần hai tầng mắc nối tiếp, và (với tải giữa chúng đã được tính toán) sự mắc nối tiếp nhân độ lợi, do đó dB cộng lại — logic ghép nối tương tự như ma trận ABCD của đơn vị 4.7.

Lỗi thường gặp. Đọc −3 dB là "mất một nửa công suất trong bộ lọc" tại điểm cắt (nó thực chất là một nửa công suất cung cấp cho tải so với băng thông trung). Nhầm lẫn $\omega$ và $f$ trên cùng một trục. Bỏ qua pha: một bộ lọc có độ lớn phẳng vẫn có thể làm biến dạng xung do độ dốc pha của nó.

Tóm tắt: cực điểm −20 dB/decade phía trên tần số cắt, cực +20; −3 dB và ±45° tại điểm cắt; các tiệm cận là công cụ thiết kế, đường cong chính xác là để kiểm tra.

Máy tính Laplace của EE02 trở thành phương pháp mạch: mỗi phần tử nhận được một mô hình miền s với điều kiện ban đầu như nguồn —

• Điện trở: $Z = R$.
• Cuộn cảm: $Z = sL$ cộng với nguồn áp nối tiếp $Li(0^{-})$ (hoặc nguồn dòng nguồn dòng $i(0^{-})/s$).
• Tụ điện: $Z = 1/(sC)$ cộng với nguồn dòng song song $Cv(0^{-})$ (hoặc nguồn áp nối tiếp $v(0^{-})/s$).

Khi đó, mọi phương pháp DC đều áp dụng được trong $s$. Các cực của đáp ứng chứa đựng phần quá độ; các cực của tín hiệu vào mang theo phần xác lập.

**Ví dụ minh họa 1 (bộ lọc sóng-1 RC, bằng đại số). Bước nhảy wave-1 RC với điện áp ban đầu: $R = 10$ kΩ, $C = 100\ \mu F$ ($\tau = 1$ s), nguồn 9 V, $v_{C}(0) = 1$ V. KVL miền s: $9/s = IR + v_{C}(0)/s + I/(sC)$ → $I = 8/(R(s + 1/(RC))) = 8/(10^{4}(s+1))$; $V_{C} = v_{C}(0)/s + I/(sC) = 1/s + 8/(s(s+1)) = 9/s - 8/(s+1)$, do đó $v_{C}(t) = 9 - 8e^{-t}$ V — chính xác là đáp án wave-1, giờ được suy dẫn bởi đại số. Kiểm tra: $v_{C}(0) = 9 - 8 = 1$ ✓, $v_{C}(\infty) = 9$ ✓.

Ví dụ minh họa 2 (RLC không nguồn, cực trùng khớp, nâng cấp). Các có đơn vị 4.3 với $R = 2\ \Omega$, $L = 0.2$ H, $C = 0.05$ F, phóng phóng với $i(0) = 1$ A, $v_{C}(0) = 0$. Mesh miền s (trở kháng cộng thêm nguồn của cuộn cảm $Li(0)$): $(0.2s + 2 + 20/s)I = 0.2$, do đó $I(s) = s/(s^{2} + 10s + 100)$ và các cực là $-5 \pm j8.66$ — chính xác là $\alpha = 5$, $\omega_{d} = 8.66$ thuật toán miền thời gian đưa ra ✓. Hai con đường này là cùng một vật lý trong hai ký hiệu khác nhau; con đường miền s truyền các số mũ mà không cần ghi nhớ công thức, và phân tích phân thức (như trong EE02) hoàn thành dạng sóng.

Lỗi thường gặp. Bỏ qua các nguồn điều kiện ban đầu — khi đó đáp án cho rằng mạch bắt đầu từ trạng thái nghỉ. Triệt tiêu $s$ một cách máy móc (một thừa số $s$ trong tử số và mẫu số có thể ẩn chứa xung). Quên điều kiện của định lý giá trị cuối (cực nằm nghiêm ngặt trong nửa mặt phẳng trái).

Tóm tắt: trở kháng trở thành $R$, $sL$, $1/sC$ cộng với các nguồn điều kiện ban đầu; các phương pháp DC trong $s$; các cực là $\alpha$ và $\omega_{d}$; kiểm tra đầu cuối vẫn còn tự do.

Một mô-đun khuếch đại, một mạng ghép impedances, một đoạn cáp — mỗi thứ là một hộp với hai cặp dây dẫn, và nhà thiết kế chỉ cần biết chức năng của hộp tại các cổng kết nối. Một hai cổng có cặp cổng vào và ra; thế giới bên ngoài chỉ quan sát thấy hành vi của cổng. Các bộ tham số liên hệ giữa các biến cổng:

Chuyển đổi là đại số (ví dụ: từ tham số z: $A = z_{11}/z_{21}$, $B = (z_{11}z_{22} - z_{12}z_{21})/z_{21}$). Mắc nối tiếp nhân độ lợi ABCD — lý do tại sao đường truyền và chuỗi bộ lọc sử dụng bộ này.

Ví dụ minh họa 1 (nối chuỗi hình L, đã kiểm tra định thức). Series trở kháng $Z$ có $ABCD = (1, Z; 0, 1)$; dẫn dung song song $Y$ có $(1, 0; Y, 1)$. Mắc nối tiếp shunt-$Y$ sau đó series-$Z$: $(1,0;Y,1)(1,Z;0,1) = (1, Z; Y, 1+YZ)$. Kiểm tra với $Z = j10$, $Y = -j0.1$ (một mạch L tại một tần số): $1 + YZ = 1 + (-j0.1)(j10) = 2$, $B = j10$ — và định thức $AD - BC = 2 - j10 \cdot (-j0.1) = 1$ bằng 1, như mọi ma trận ABCD của mạng đối xứng phải.

Ví dụ minh họa 2 (chuyển sang tham số z, kiểm tra bằng máy tính, nâng cao). Các tham số z của mạch L tương tự từ phép chuyển đổi $z_{11} = A/C$, $z_{12} = \Delta/C$, $z_{21} = 1/C$, $z_{22} = D/C$ with $C = Y = -j0.1$: $z_{11} = z_{12} = z_{21} = 1/(-j0.1) = j10\ \Omega$, $z_{22} = 2/(-j0.1) = j20\ \Omega$ (machine-verified). The symmetry $z_{12} = z_{21}$ là điều kiện đối xứng — thể hiện rõ qua các con số, không chỉ giả định — và $z_{22} \neq z_{11}$ records the asymmetry of the L (shunt at the input side). Read lại: với cổng 2 mở ($I_{2} = 0$), $V_{1} = j10 I_{1}$ — nhánh nối tiếp không mang dòng điện, nên đầu vào chỉ thấy nhánh điện áp song song, $1/Y = 1/(-j0.1) = j10\ \Omega$.

Lỗi thường gặp. Dấu của $I_{2}$: Ma trận ABCD sử dụng $-I_{2}$ (dòng điện ra khỏi cổng 2); tham số z sử dụng nó vào trong cổng — hãy chọn quy ước và tuân thủ. Nhân các cascade theo thứ tự sai (tích ma trận không giao hoán). Mong đợi $z_{12} = z_{21}$ cho mạng có nguồn điều khiển bên trong — điều kiện đối xứng yêu cầu tính tuyến tính không có nguồn phụ thuộc.

Tóm tắt: các cổng ẩn đi phần bên trong; ABCD liên tiếp qua phép nhân (đảo mạng: $AD - BC = 1$); tham số z phù hợp với nối tiếp và tiết lộ tính đối xứng như $z_{12} = z_{21}$; chuyển đổi chỉ bằng đại số, kiểm tra bằng một hệ thức định thức.