Q.L-algebra · Algebra: domains, systems, inequalities and functions

Thực hành lớp học gốc trong các dạng bài kiểm tra ngắn hơn đã được xem xét. Điều này không mô phỏng bài kiểm tra thích ứng hay dự đoán điểm chuẩn hóa hoặc điểm viết.

• Giải phương trình trong khi bảo toàn các ràng buộc mẫu số và radical
• Phân tích bất phương trình và điều kiện đồng thời mà không bỏ sót điểm biên
• Đánh giá hàm số và dịch các mối quan hệ bằng lời sang đại số

miền xác định: Điều kiện xác định các giá trị đầu vào mà tại đó biểu thức gốc được xác định.

nghiệm đồng thời: Các giá trị thỏa mãn mọi hệ thức trong hệ thống cùng một lúc.

Write restrictions before manipulating an equation. A denominator must be nonzero; a real even root needs a nonnegative argument. Cancelling factors preserves the expression only on its original domain. Squaring can introduce candidates because a square loses sign information; verify every candidate in the unsquared relation.

Giải hệ phương trình đòi hỏi cùng một cặp thứ tự phải thỏa mãn tất cả các hệ thức. Thế số hoặc cộng trừ đại số có thể tiết lộ một, không hoặc vô số nghiệm tuyến tính. Đối với bất phương trình, nhân hoặc chia với số âm sẽ đảo chiều bất đẳng thức. Đối với bất phương trình tam thức đã phân tích thành nhân tử, sắp xếp các nghiệm và kiểm tra dấu của từng khoảng, bao gồm cả điểm biên chỉ khi phép bằng được phép.

Hàm gán một giá trị đầu ra cho mỗi đầu vào cho phép. Evaluating (tính) hàm bên trong trước trong một tổ hợp, bảo toàn các ràng buộc miền xác định. Đọc hệ số góc như là sự thay đổi của đầu ra theo mỗi đơn vị đầu vào và đọc tung độ giao điểm là đầu ra tại đầu vào bằng 0 chỉ khi đầu vào đó có ý nghĩa. Mô hình bằng lời nên đặt tên cho các biến và giữ các đại lượng trong cùng đơn vị đo lường tương thích.

Đối với So sánh Định lượng, hãy bảo toàn tất cả các giá trị cho phép. Một biến với x²=4 có thể là −2 hoặc 2 nếu không bị ràng buộc. Một phản ví dụ có thể bác bỏ một mối quan hệ phổ quát; nhiều phép thế thuận lợi không thể chứng minh nó đúng với mọi giá trị thực. Cấu trúc đại số có thể thiết lập mối quan hệ mà không cần lấy mẫu số học toàn diện.

Đối với √(x+2)=x, x≥0. Bình phương hai vế ta có x²−x−2=0, các nghiệm ứng viên 2 và −1. Chỉ có 2 thỏa mãn phương trình ban đầu. Đối với (x−1)(x−4)≤0, tam thức bậc hai hướng lên có giá trị không dương trên 1≤x≤4, bao gồm cả các nghiệm. Trong hệ x+y=10, x−y=2, cộng hai phương trình lại ta có 2x=12; suy ra x=6 và y=4. Với f(t)=2t+1 và g(x)=x², f(g(3))=2·9+1=19, áp dụng g trước.

Một phương trình đã biến đổi cung cấp các nghiệm ứng viên, chứ không phải tự động là nghiệm của phương trình gốc. Các thừa số bất phương trình âm và các đầu mút nghiêm ngặt cần được kiểm tra rõ ràng.

Giải $(x^2-4)/(x-2)=5$ trên miền xác định thực gốc của nó. Giải $(x+1)(x-3)\le0$ và tìm $f(g(2))$ cho $f(t)=t^2$, $g(x)=x-3$.

Mô hình và lập luận

Phương trình hữu tỷ loại trừ x=2. Với x được phép, phương trình rút gọn thành x+2=5, cho x=3, thay vào đúng. Tam thức bậc hai không dương giữa các nghiệm của nó, bao gồm cả các nghiệm: $-1\le x\le3$. Hàm hợp áp dụng g trước: $g(2)=-1$ và $f(g(2))=1$. Rút gọn một thừa số không phục hồi các giá trị bị loại trừ.

Với a thực, phân loại hệ $x+y=4$, $2x+ay=8$ có một, không hoặc vô số nghiệm. So sánh với phương trình thứ hai $2x+ay=9$. Đưa ra nghiệm trong mọi trường hợp nhất quán.

Kiểm tra sau khi đã làm

Trừ hai lần phương trình đầu tiên. Trong hệ đầu tiên $(a-2)y=0$: khi a khác hai, y=0, x=4, duy nhất. Khi a=2, cả hai phương trình là cùng một quan hệ, cho mọi cặp $(4-t,t)$. Không có trường hợp mâu thuẫn nào trong hệ đầu này. Với vế phải bằng chín, $(a-2)y=1$. Khi a khác hai, $y=1/(a-2)$ và $x=4-1/(a-2)$, duy nhất. Khi a=2, nó yêu cầu 0=1, nên không có nghiệm. Hàng hệ số bằng không chỉ dẫn đến mâu thuẫn khi vế phải khác không.