ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข |
| two-way table/tuː weɪ ˈteɪbl/ | ตารางสองทาง |
| dependent/dɪˈpendənt/ | แปรผันตาม |
คำถามของนักสืบ
- คุณรู้ว่าใครสักคนเรียนภาษาฝรั่งเศส โอกาสที่เขา/เธอเรียนภาษาเยอรมันด้วยคือเท่าไร?
- นี่ไม่ใช่ "โอกาสที่ใครสักคนเรียนทั้งสองวิชา" — คุณจำกัดกลุ่มให้เหลือ เฉพาะนักเรียนภาษาฝรั่งเศส เท่านั้น
- นั่นคือ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข: ความน่าจะเป็นของ $B$ เมื่อทราบว่ามี $A$ เกิดขึ้นไปแล้ว
วิธีอ่านสัญลักษณ์
- $\text{P}(B \mid A)$ หมายถึง "ความน่าจะเป็นของ $B$ เมื่อ knowing $A$"
- ดู เฉพาะส่วนที่ตรงกับเงื่อนไข — ในแผนภาพเวนน์, ตารางสองมิติ, หรือต้นไม้
ในชั้นเรียน $30$ คน, มี $18$ คนเรียนภาษาฝรั่งเศส จาก这群 $18$, มี $7$ คนเรียนภาษาเยอรมันด้วย $\text{P}(\text{German} \mid \text{French}) = \dfrac{7}{18}$.
บนแผนภาพต้นไม้, คูณความน่าจะเป็นตามกิ่ง; ที่นี่สีแดงสองครั้งให้ $\tfrac38\times\tfrac38=\tfrac{9}{64}$
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข
P(A | B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)
เมื่อเหตุการณ์หนึ่งกระทบอีกเหตุการณ์หนึ่ง ความน่าจะเป็นเงื่อนไข เปลี่ยนแปลง — และ Bayes กลับด้าน
จากนักเรียนภาษาฝรั่งเศส 18 คน มี 7 คนเรียนภาษาเยอรมันด้วย P(เยอรมัน | ฝรั่งเศส) = 7/a a มีค่าเท่าใด?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
กำหนดว่าเป็นภาษาฝรั่งเศส จำนวนที่ต้องหารด้วยคือ 18 นักเรียนภาษาฝรั่งเศส
ความน่าจะเป็นเงื่อนไขคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
นี่คือความน่าจะเป็นของ B เมื่อทราบว่ามี A เกิดขึ้นแล้ว
จากคน 100 คน มีผู้หญิง 40 คน ในจำนวนนี้มีความสามารถใช้มือซ้าย 10 คน P(ใช้มือซ้าย | ผู้หญิง) เมื่อแสดงเป็นทศนิยมได้ค่าเท่าไหร่?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
10/40 = 0.25.
สูตร (ขยาย)
ตัวส่วนเปลี่ยนไป. ในการหาความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข, จำนวนที่คุณหารด้วยคือเพียงกลุ่มที่ตรงตามเงื่อนไข — ไม่ใช่ประชากรทั้งหมด นี่คือข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด
P(B | A) = P(A และ B) / P(______)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) ส่วนตัวส่วนคือความน่าจะเป็นของเงื่อนไข
บนตารางสองมิติ
- เพื่อหาค่า $\text{P}(B \mid A)$: มองที่แถว (หรือคอลัมน์) ของ $A$, และหาเศษส่วนที่ also $B$
- ผลรวมของแถว คือตัวส่วน, ไม่ใช่ผลรวมทั้งหมด
จากนักเรียน 20 คน มี 12 คนชอบชา ในจำนวนนั้น 3 คนยังชอบกาแฟด้วย P(กาแฟ | ชา) = 3/a ค่า a คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เมื่อมีเงื่อนไขว่าเราเลือกจากกลุ่มผู้ดื่มชาทั้ง 12 คน ดังนั้น a = 12
อิสระ vs ขึ้นอยู่กับ
- ถ้า $\text{P}(B \mid A) = \text{P}(B)$, เหตุการณ์เหล่านี้เป็น อิสระ — การรู้ว่ามี $A$ เกิดขึ้นแล้ว ไม่ทำให้โอกาสของ $B$ เปลี่ยนแปลง
- ถ้ามันต่างกัน, เหตุการณ์เหล่านี้เป็น ขึ้นอยู่กับ
ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจำกัดความสนใจไว้ที่กลุ่มที่ตรงกับเงื่อนไข — เหมือนการมองเฉพาะภายในหนึ่งพื้นที่ของแผนภาพเวนน์เท่านั้น
หาก P(B | A) = P(B) แล้วเหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระต่อกัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความเป็นอิสระหมายความว่า การรู้ว่า A เกิดขึ้นแล้ว จะไม่ทำให้ความน่าจะเป็นของ B เปลี่ยนแปลง
เงื่อนไขต่อกลุ่มย่อย
- จาก 30 นักเรียน, มี 18 คนเรียนภาษาฝรั่งเศส และมี 7 คนในจำนวนนี้เรียนภาษาเยอรมัน. เมื่อกำหนดให้เรียนภาษาฝรั่งเศส ให้ใช้ $p=7/18$, ไม่ใช่ $7/30$; เงื่อนไขนี้คัดเลือกเฉพาะ 18 นักเรียนเท่านั้น
- สมมติว่า 12 นักเรียนในชั้นเรียนทั้งหมดเรียนภาษาเยอรมัน. จะได้ $P(G)=12/30=0.4$ แตกต่างจาก $P(G\mid F)=7/18$. เหตุการณ์ทั้งสองไม่เป็นอิสระต่อกันสำหรับข้อมูลชุดนี้
จากนักเรียนฝรั่งเศส 18 คน มี 9 คนเรียนเยอรมันด้วย หา P(เยอรมัน | ฝรั่งเศส)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
จำกัดตัวส่วนไว้ที่นักเรียนฝรั่งเศส: 9/18 = 0.5
คุณเข้าใจแล้ว
- ความน่าจะเป็นแบบเงื่อนไข $=$ โอกาสที่จะเกิด $B$ เมื่อ已知 $A$ เกิดขึ้นแล้ว
- จำกัดความสนใจไว้ที่กลุ่มที่ตรงตามเงื่อนไขเท่านั้น
- $\text{P}(\text{German} \mid \text{French}) = \dfrac{7}{18}$ (จากนักเรียนภาษาฝรั่งเศสเท่านั้น)