เรขาคณิตของเวกเตอร์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| collinear/ˈkɒlɪnɪə/ | เป็นเส้นตรงเดียวกัน |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | เวกเตอร์ตำแหน่ง |
| parallel/ˈpærəlel/ | ขนานกัน |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | จุดกึ่งกลาง |
การพิสูจน์ว่าจุดเรียงเป็นเส้นตรง
- คุณจะพิสูจน์ว่าสามจุด เรียงเป็นเส้นตรง (อยู่บนเส้นเดียวกัน) ได้อย่างไร?
- แสดงว่าเวกเตอร์จากจุดแรกไปยังจุดที่สองเป็น ผลคูณสเกลาร์ ของเวกเตอร์จากจุดที่สองไปยังจุดที่สาม
เวกเตอร์ตำแหน่งและ $\overrightarrow{AB}$
- เวกเตอร์ตำแหน่ง ของจุดคือเวกเตอร์จากจุดกำเนิด $O$ ไปยังจุดนั้น
- เวกเตอร์จาก $A$ ไปยัง $B$:
ถ้า $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ และ $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$, แล้ว $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$
เรขาคณิตของเวกเตอร์
resultant = a + b
รวมเวกเตอร์เพื่อไปยังจุดหนึ่ง — เวกเตอร์ผลรวม คือเส้นทางตรง
ถ้า a และ b เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของ A และ B แล้วเวกเตอร์ AB คือ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
AB = (ตำแหน่งของ B) − (ตำแหน่งของ A) = b − a
A มีเวกเตอร์ตำแหน่ง (1, 3) และ B มีเวกเตอร์ตำแหน่ง (4, 7) องค์ประกอบด้านบนของ AB คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
AB = b − a: ด้านบน = 4 − 1 = 3
เวกเตอร์ขนานและจุดเรียงเป็นเส้นตรง
- เวกเตอร์สองตัว ขนานกัน ถ้าตัวหนึ่งเป็นผลคูณสเกลาร์ของอีกตัว: $\mathbf{p} = k\mathbf{q}$
- สามจุด $A, B, C$ เรียงเป็นเส้นตรง ถ้า $\overrightarrow{AB}$ และ $\overrightarrow{BC}$ ขนานกัน และแบ่งปันจุด $B$
การขนานเพียงอย่างเดียวไม่พอ. เวกเตอร์สองตัวอาจขนานกันได้โดยไม่ที่จุดจะเรียงเป็นเส้นตรง — พวกเขาอาจอยู่บนเส้นขนานแยกต่างหาก คุณจำเป็นต้องมี จุดร่วม ด้วย
สองเวกเตอร์ขนานกันหากตัวหนึ่งเป็นผลคูณสเกลาร์ของอีกตัวหนึ่ง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เวกเตอร์ขนานกันชี้ไปในทิศทางเดียวกัน (หรือตรงข้าม) ดังนั้นตัวหนึ่งจึงเป็น k เท่าของอีกตัวหนึ่ง
เพื่อพิสูจน์ว่าสามจุดอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน แสดงให้เห็นว่าเวกเตอร์ระหว่าง他们有 ______ และแบ่งปันจุดหนึ่ง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
จุดบนเส้นตรงเดียวกันมีเวกเตอร์ขนานกันระหว่าง他们有 AND จุดร่วม
จุดกึ่งกลางของเซกเมนต์
- $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $AB$, โดยที่ $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ และ $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$.
- เวกเตอร์ตำแหน่งของจุดกึ่งกลางคือ ค่าเฉลี่ย ของจุดปลายทั้งสอง
ขนาดของเวกเตอร์คอลัมน์หาได้ด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส
M เป็นจุดกึ่งกลางของ AB เวกเตอร์ตำแหน่ง OM คือ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
OM = a + ½(b − a) = ½(a + b)
A = (2, 4) และ B = (8, 10) จุดกึ่งกลาง M มีพิกัด x เท่าใด?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
½(2 + 8) = 5.
ทำไมเวกเตอร์ถึงสำคัญ
- เกมวิดีโอ engines ทางฟิสิกส์ และ GPS ใช้คณิตศาสตร์เวกเตอร์เพื่อติดตามตำแหน่งและการเคลื่อนไหว
เวกเตอร์ตำแหน่งระบุตำแหน่งของจุดบนตาราง — ซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับการพิสูจน์ความสามเหลี่ยมและหาจุดกึ่งกลาง
หลักฐานเวกเตอร์แบบสมบูรณ์
- ถ้า $\overrightarrow{OA}=\mathbf a$, $\overrightarrow{OB}=\mathbf b$, และ M เป็นจุดกึ่งกลางของ AB, แล้ว $\overrightarrow{OM}=(\mathbf a+\mathbf b)/2$
- กำหนด C โดย $\overrightarrow{OC}=2\mathbf b-\mathbf a$. จะได้ $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\mathbf b-\mathbf a=\overrightarrow{AB}$. เวกเตอร์ที่เท่ากันมีทิศทางเดียวกันและตัดกันที่ B ดังนั้น A, B, C อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน และ B เป็นจุดกึ่งกลางของ AC (สำหรับ A และ B ที่แตกต่างกัน)
A = (1,3), B = (4,7) และ OC = 2OB − OA หาพิกัด x ของ C
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
C = (8,14) − (1,3) = (7,11).
คุณเข้าใจแล้ว
- $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ (ปลายลบต้น)
- ขนาน เวกเตอร์เป็นผลคูณของสเกลาร์ นั่นคือวิธีที่คุณจะแสดงว่าจุด三点อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
- จุดกึ่งกลางของ $AB$: $\;\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$