ผิวหน้าและปริมาตรของวัตถุสามมิติ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| volume/ˈvɒljuːm/ | ปริมาตร |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | พื้นที่ผิว |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | ทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า |
| prism/ˈprɪzəm/ | ปริซึม |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | ทรงกระบอก |
| cone/kəʊn/ | ทรงกรวย |
| sphere/sfɪə/ | ทรงกลม |
น้ำในสระว่ายน้ำเต็มกี่ลิตร?
- สระน้ำยาว 25 เมตร กว้าง 10 เมตร ลึก 2 เมตร จุน้ำได้ $25 \times 10 \times 2 = 500\text{ m}^3 = 500\,000$ ลิตร
- ปริมาตรบอกปริมาณที่วัตถุแข็งสามารถจุได้ พื้นที่ผิวบอกปริมาณวัสดุที่ใช้หุ้ม
ห้องปฏิบัติการการขยายปริมาตร
ผิวหน้าเพิ่มขึ้นตามสเกล^2
เปลี่ยนสเกลความยาวเพื่อดูว่าปริมาตรเพิ่มขึ้นเร็วกว่าผิวหน้าอย่างไร
ปริมาตรของวัตถุแข็งทั่วไป
| วัตถุแข็ง | ปริมาตร |
|---|---|
| 的形状四棱柱 | $l \times w \times h$ |
| Prisms | พื้นที่หน้าตัด $\times$ × ความยาว |
| Cylinder | $\pi r^2 h$ |
| Pyramid | $\dfrac{1}{3} \times$ × พื้นที่ฐาน $\times h$ |
| Cone | $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ |
| Sphere | $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ |
Prism มีหน้าตัดเหมือนกันตลอดความยาว Cylinder เป็น Prism ทรงกลม: หน้าตัด $= \pi r^2$ ดังนั้นปริมาตร $= \pi r^2 \times h$
พีระมิดกิซาเป็นพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่ — วัตถุแข็งจริงที่เราสามารถคำนวณปริมาตรและพื้นที่ผิวได้
ทรงกระบอกมีรัศมี 5 ซม. และความสูง 10 ซม. ปริมาตรคือ kπ ลูกบาศก์ซม. ค่า k คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ปริมาตร = πr²h = π(25)(10) = 250π ดังนั้น k = 250
ปริมาตรของทรงกลมรัศมี r คือ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ปริมาตรทรงกลม = (4/3)πr³; 4πr² คือผิวหน้าของมัน
กรวยมีรัศมี 3 ซม. และความสูง 4 ซม. ปริมาตรคือ kπ ลูกบาศก์ซม. ค่า k คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ปริมาตร = (1/3)πr²h = (1/3)π(9)(4) = 12π ดังนั้น k = 12
ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากยาว 4 ซม. กว้าง 3 ซม. สูง 5 ซม. จงหาปริมาตร (ลูกบาศก์ซม.)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ปริมาตร = ยาว × กว้าง × สูง = 4 × 3 × 5 = 60 ลูกบาศก์ซม.
พื้นที่ผิว
- บวกพื้นที่ของทุก หน้าภายนอก เข้าด้วยกัน
- Cylinder: ผิวโค้ง $2\pi rh$ บวกด้วยปลายวงกลมสองด้าน $2\pi r^2$ รวม $= 2\pi rh + 2\pi r^2$
- Sphere: $4\pi r^2$
พื้นที่ผิว ≠ ปริมาตร. ปริมาตรของ Cylinder ใช้ $\pi r^2 h$ (หน่วยลูกบาศก์); พื้นที่ผิวใช้ $2\pi rh + 2\pi r^2$ (หน่วยตาราง) การสลับกันนี้เป็นข้อผิดพลาดที่พบบ่อย
พีระมิดแห่งกิซาเป็นพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม, รูปทรง 3 มิติ
ทรงกระบอกเดียวกัน (r = 5, h = 10) มีผิวหน้ารวม kπ ตร.ซม. ค่า k คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2π(5)(10) + 2π(5²) = 100π + 50π = 150π ดังนั้น k = 150
ผิวหน้าและปริมาตรของทรงกระบอกใช้สูตรเดียวกัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ปริมาตร = πr²h (หน่วยลูกบาศก์); ผิวหน้า = 2πrh + 2πr² (หน่วยตาราง) สูตรต่างกัน
ตัวอย่างวิธีทำ
- Cylinder $r = 5$, $h = 10$:
- ปริมาตร $= \pi(5^2)(10) = 250\pi\text{ cm}^3$
- พื้นที่ผิว $= 2\pi(5)(10) + 2\pi(5^2) = 100\pi + 50\pi = 150\pi\text{ cm}^2$
ปริมาตรสร้างบนพื้นฐานของพื้นที่: Cylinder คือวงกลม ($\pi r^2$) ที่ยืดออกไปตามความสูง ($h$)
กล่องAllocatorเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า; ปริมาตรคือ ความยาว × กว้าง × สูง
พื้นที่กรวยและปริมาตรพีระมิด
- กรวยที่มีรัศมี 3 ซม., สูงตั้งฉาก 4 ซม. และความยาวเอียง 5 ซม. มีพื้นที่ผิวโค้ง $S_c=\pi rl=15\pi\text{ cm}^2$ เพิ่มพื้นที่ฐานทรงกลมเพื่อหาพื้นที่รวม $S=15\pi+9\pi=24\pi\text{ cm}^2$; ใช้ความสูงตั้งฉากในการคำนวณปริมาตร $V=\pi r^2h/3=12\pi\text{ cm}^3$
- พีระมิดที่มีพื้นที่ฐาน $30\text{ cm}^2$ และสูงตั้งฉาก 8 ซม. มี $V=Ah/3=80\text{ cm}^3$ สำหรับหาพื้นที่ผิว ให้เพิ่มพื้นที่ฐานและหน้ารูปสามเหลี่ยม โดยใช้ความสูงตั้งฉากของแต่ละหน้า
กรวยมีรัศมี r = 3 ซม. และความยาวเอียง 5 ซม. พื้นที่ผิวรวมเท่ากับ kπ ซม.² จงหาค่า k
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
พื้นที่ส่วนโค้งคือ 15π และพื้นที่ฐานคือ 9π; ดังนั้น k = 24
พีระมิดมีพื้นที่ฐาน 30 ซม.² และความสูงตั้งฉาก 8 ซม. จงหาปริมาตรเป็นหน่วยซม.³
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
V = พื้นที่ฐาน × ความสูง / 3 = 30 × 8 / 3 = 80
คุณเข้าใจแล้ว
- ปริมาตรทรงกระบอก $= \pi r^2 h$;Sphere $= \dfrac{4}{3}\pi r^3$;กรวย $= \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
- พื้นที่ผิวทรงกระบอก $= 2\pi rh + 2\pi r^2$;Sphere พื้นที่ผิว $= 4\pi r^2$
- $r=5$, $h=10$ Cylinder: ปริมาตร $250\pi$, พื้นที่ผิว $150\pi$