การหาอนุพันธ์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | แคลคูลัส |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | อนุพันธ์ |
| differentiate/ˌdɪfəˈrenʃɪeɪt/ | หาอนุพันธ์ |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | จุดนิ่ง |
ความชันที่เปลี่ยนแปลง
- เส้นตรงมีความชันหนึ่งเท่าเดิมทุกจุด ส่วนโค้งมีความชัน แตกต่างกัน在每个点
- นิวตันและ莱布นิซคิดค้น แคลคูลัส เพื่อตอบคำถามว่า "ความชันของโค้ง ตรงนี้ คืออะไร?" คำตอบคือ อนุพันธ์
กฎของเลขชี้กำลัง (Power Rule)
- ถ้า $y = ax^n$, แล้ว $\dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$.
- เป็นภาษาพูด: ดึงเลขชี้กำลังลงมา放在หน้า, แล้ว ลดลงหนึ่ง,
$y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$. หาอนุพันธ์ ทีละพจน์ — พจน์แต่ละพจน์ถูกพิจารณาแยกต่างหาก
ความชันของโค้ง ณ จุดหนึ่งคือความชันของเส้นสัมผัสที่จุดนั้น ซึ่งนี่คือสิ่งที่การหาอนุพันธ์หาค่าได้
ความชันที่จุดหนึ่ง
gradient = dy/dx
เลื่อนจุด — ความชันของ เส้นสัมผัส คือความชัน ณ จุดนั้น
ถ้า y = x³ + 2x² − 5x แล้ว dy/dx = 3x² + 4x − 5 ค่าของฟังก์ชันนี้ที่ x = 1 คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3(1)² + 4(1) − 5 = 3 + 4 − 5 = 2.
สำหรับ y = axⁿ, โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก การหาอนุพันธ์จะได้:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ดึงกำลังลงและลดค่าลง 1: a·n·xⁿ⁻¹
ถ้า y = 4x³ ค่าของ dy/dx ที่ x = 2 คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = 12x² ที่ x = 2: 12(4) = 48
อนุพันธ์ของ y = x⁵ คือ dy/dx = ______
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
กฎกำลัง: ดึงเลข 5 ลง และลดกำลัง: 5x⁴
กรณีพิเศษ
- $y = c$ (ค่าคงที่) → $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (เส้นแนวนอนมีความชันเป็นศูนย์)
- $y = cx$ → $\dfrac{dy}{dx} = c$ (เส้นตรงมีความชันคงที่)
- กฎเลขชี้กำลัง IGCSE ในข้อนี้ใช้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและผลรวมสูงสุดสามพจน์; การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันอยู่นอกเหนือขอบเขตหลักสูตรนี้
อย่าลืมพจน์คงที่ อนุพันธ์ของ $x^2 + 7$ คือ $2x$, ไม่ใช่ $2x + 7$ อนุพันธ์ของค่าคงที่คือ ศูนย์เสมอ
อนุพันธ์ของ y = x² + 7 คือ 2x + 7
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์ของค่าคงที่คือ 0 ดังนั้น dy/dx = 2x ไม่ใช่ 2x + 7
จุดหยุดนิ่ง
- จุดคงที่ คือจุดที่ $\dfrac{dy}{dx} = 0$ — เส้นโค้งราบเรียบชั่วคราว
- $y = x^2 - 6x + 5 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$.
- ที่ $x = 3$: $y = 9 - 18 + 5 = -4$ จุดเปลี่ยนทิศทาง: $(3, -4)$
จุดนิ่งคือจุดที่กราฟราบเรียบชั่วขณะหนึ่ง — ความชัน (อนุพันธ์) เท่ากับศูนย์
กราฟ y = x² − 6x + 5 มีจุดเปลี่ยน ที่ค่า x อะไร (เมื่อ dy/dx = 0)?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = 2x − 6 = 0 ได้ x = 3
ทำไมการหาอนุพันธ์จึงสำคัญ
- ฟิสิกส์: ความเร็วคืออนุพันธ์ของตำแหน่ง; ความเร่งคืออนุพันธ์ของความเร็ว
- เศรษฐศาสตร์: ต้นทุน边际คืออนุพันธ์ของต้นทุนรวม — ต้นทุนของการผลิตเพิ่มอีกหนึ่งหน่วย
- การปรับให้เหมาะสม: เพื่อเพิ่มกำไรสูงสุดหรือลดต้นทุนต่ำสุด ให้ตั้งให้อนุพันธ์เป็นศูนย์
เส้นสัมผัสประมาณความชันของเส้นโค้ง
- วาดเส้นสัมผัสที่แตะเส้นโค้งที่จุดที่ต้องการ แล้วเลือกสองจุดที่ชัดเจนบนเส้นสัมผัส ไม่ใช่สองจุด tùyisy บนเส้นโค้ง. คำนวณการยกขึ้นหารด้วยระยะทางแนวนอน
- สำหรับ $y=x^2$ ที่ $(2,4)$, เส้นสัมผัสผ่าน $(1,0)$ และ $(3,8)$ มี $m=(8-0)/(3-1)=4$. การหาอนุพันธ์ยืนยัน $dy/dx=2x=4$ ที่ $x=2$
เส้นสัมผัสผ่านจุด (1,0) และ (3,8) หาความชันของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
การยกสูง 8 หารด้วยการเคลื่อนที่ในแนวราบ 2 ได้ค่า 4
ต่ำสุดหรือสูงสุด?
- สำหรับ $y=x^2-6x+5$, ความชันคือ $2x-6$. ค่าความชันเป็นลบที่ $x=2$, เป็นศูนย์ที่ 3 และเป็นบวกที่ 4: ลดลงแล้วเพิ่มขึ้น แสดงถึง จุดต่ำสุด ที่ $(3,-4)$
- สำหรับ $y=-x^2+4x+1$, $dy/dx=-2x+4$. มีค่าเป็นบวกที่ 1 และเป็นลบที่ 3 หมายถึง จุดสูงสุด ที่ $x=2$, ซึ่ง $y=5$
สำหรับ y = −x² + 4x + 1, หาค่าพิกัด y ของจุดสูงสุด
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx = −2x + 4 เป็นศูนย์ที่ x = 2; y = −4 + 8 + 1 = 5
คุณเข้าใจแล้ว
- กฎกำลัง: $y = ax^n \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$
- หาอนุพันธ์ของผลบวก ทีละพจน์; อนุพันธ์ของค่าคงที่คือ ศูนย์
- จุดนิ่ง คือจุดที่ $\dfrac{dy}{dx} = 0$
- $y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$