ความแปรผันตรงและความแปรผันผกผัน

อัตราทองคำของสูตรอาหาร

• สูตรแพนเค้กสำหรับ 4 คนต้องใช้ Flour 200 กรัม ต้องใช้เท่าไหร่สำหรับ 10 คน? $200 \div 4 = 50$ g ต่อคน, $50 \times 10 = 500$ g
• นั่นคือ ความแปรผันตรง: เพิ่มจำนวนคนเท่าเดิม เพิ่ม flour เท่าเดิม อัตราส่วนคงที่เดิม

ความแปรผันโดยตรง

• $y \propto x$ หมายความว่า $y = kx$ สำหรับค่าคงที่ $k$ (ค่าคงที่ของความแปรผัน)
• หาก $y$ เพิ่มเป็นสองเท่า, $x$ ก็เพิ่มเป็นสองเท่า — พวกมันขยายตามกัน
• หา $k$ จากคู่ที่ทราบ, แล้วนำไปใช้

ความแปรผกผัน

• $y \propto \dfrac{1}{x}$ หมายถึง $y = \dfrac{k}{x}$ — เมื่อตัวหนึ่งเพิ่มขึ้น อีกตัวจะ ลดลง
• คนงานมากขึ้น → เวลาใช้น้อยลง. ความเร็วมากขึ้น → เวลาเดินทางน้อยลง.

สัดส่วนต่อกำลังและราก

• สัดส่วนอาจเป็นของ กำลังสอง, กำลังสาม หรือ รากที่สอง:
• $y \propto x^2$: $y = kx^2$. ถ้า $x$ เป็นสองเท่า, $y$ จะเพิ่มเป็นสี่เท่า
• $y \propto \sqrt{x}$: $y = k\sqrt{x}$.

ความแปรผันโดยตรงเป็นเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด. ความแปรผันที่ไม่ใช่เส้นตรง (ต่อกำลังสอง, กำลังสาม หรือราก) จะโค้งแยกออกไป

ตัวอย่างวิธีทำ

• $y \propto x^2$, และ $y = 50$ เมื่อ $x = 5$. หา $y$ เมื่อ $x = 8$.
• $50 = k(5^2) = 25k \Rightarrow k = 2$.
• $y = 2(8^2) = 2(64) = 128$.

การคำนวณย้อนกลับ

• คนงานที่มีประสิทธิภาพเท่ากัน 6 คน ใช้เวลา 10 วัน เมื่อปริมาณงานคงที่ $t=k/w$ ดังนั้นใช้ $k=tw=10(6)=60$ วัน-คน
• คนงาน 10 คน ใช้เวลา $t=60/10=6$ วัน โดยสมมติว่ามีความสามารถเท่ากัน อย่านำไปใช้สัดส่วนตรง เพราะคนงาน越多ควรลดเวลาลง

คุณเข้าใจแล้ว