อนุกรม
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| sequence/ˈsiːkwəns/ | อนุกรม |
| term-to-term rule/tɜːm tə tɜːm ruːl/ | กฎจากพจน์ต่อพจน์ |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | ผลต่างร่วม |
| nth term/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm/ | พจน์ที่ n |
| quadratic sequence/kwɒˈdrætɪk ˈsiːkwəns/ | อนุกรมกำลังสอง |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | อนุกรมเรขาคณิต |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | อัตราส่วนร่วม |
การทำนายอนาคต
- ดอกทานตะวันเพิ่มวงกลีบดอกตามรูปแบบ Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
- ลำดับเลขคือรูปแบบในตัวเลข เมื่อคุณรู้กฎแล้ว คุณสามารถทำนาย ทุก พจน์—even the millionth term.
กฎจากพจน์ต่อพจน์
- ลำดับเลขที่ง่ายที่สุดบวก (หรือลบ) จำนวนคงที่ทุกครั้ง: $2, 5, 8, 11, \dots$ เพิ่มขึ้น $3$ ทุกครั้ง
- นี่คือ กฎจากพจน์ต่อพจน์ (ผลต่างร่วม)
กะหล่ำปลีโรมานเชส: ลวดลายเกลียวซ้ำตนเองสร้างรูปแบบเลขธรรมชาติ
อนุกรม
uₙ = a + (n − 1)d
อนุกรมเลขคณิต เพิ่มขั้นตอนเท่าเดิมทุกครั้ง; ผลรวม เพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ
พจน์ที่ n (กฎตำแหน่งต่อพจน์)
- สำหรับลำดับเลข เชิงเส้น (ผลต่างคงที่ $d$), พจน์ที่ n คือ $dn + c$
- $2, 5, 8, 11, \dots$: ผลต่าง $d = 3$, พจน์แรก $= 2$, ดังนั้น $3n - 1$
- ตรวจสอบ: $n=1 \Rightarrow 3(1)-1 = 2$ ✓; $\;n=4 \Rightarrow 3(4)-1 = 11$ ✓
หา c. ลำดับเลขเริ่มต้นที่ $2$ เมื่อ $n=1$: $3(1) + c = 2 \Rightarrow c = -1$. ดังนั้นพจน์ที่ n คือ $3n - 1$
พจน์ที่ n ของ 2, 5, 8, 11, … คือ 3n − 1 พจน์ที่ 10 คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3 × 10 − 1 = 30 − 1 = 29.
สำหรับอนุกรมเชิงเส้นที่เพิ่มขึ้นทีละ 3 พจน์ที่ n จะมี:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ส่วนต่างคงที่เท่ากับ 3หมายความว่าพจน์ที่ n คือ 3n ปรับด้วยค่าคงที่
พจน์ที่ n ของ 4, 7, 10, 13, … คือ 3n + ______
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
3(1) + c = 4 → c = 1 พจน์ที่ n คือ 3n + 1
ลำดับกำลังสองง่าย ๆ
- เมื่อ ผลต่างระดับแรกเปลี่ยนแปลง แต่ ผลต่างระดับที่สองคงที่ มันคือลำดับเลขกำลังสอง
- $2, 5, 10, 17, \dots$: ผลต่างระดับแรก $3, 5, 7$; ผลต่างระดับที่สอง $2, 2$
- สัมประสิทธิ์ $n^2$ เป็นครึ่งหนึ่งของผลต่างระดับที่สอง: $\dfrac{2}{2} = 1$ ดังนั้น พจน์ $n^2$ คือ $n^2$
- ปรับ: $n^2 + 1$ ให้ $2, 5, 10, 17$. ✓
เส้นจำนวนแสดงรูปแบบได้เช่นกัน: ในลำดับเลขกำลังสอง ช่องว่างระหว่างพจน์จะกว้างขึ้นอย่างต่อเนื่อง
ครึ่งหนึ่งของผลต่างระดับที่สอง. สัมประสิทธิ์ $n^2$ คือ $\dfrac{\text{second difference}}{2}$, ไม่ใช่ผลต่างระดับที่สองเอง สำหรับ $2, 5, 10, 17$ ผลต่างระดับที่สองคือ $2$, ให้ $n^2$ (ไม่ใช่ $2n^2$)*
พจน์ที่ n ของ 2, 5, 10, 17, … คือ n² + 1 พจน์ที่ 5 คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5² + 1 = 25 + 1 = 26.
ในอนุกรมกำลังสอง ส่วนต่างอันดับสองจะมีค่าคงที่
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ส่วนต่างอันดับแรกเปลี่ยนแปลงอย่างสม่ำเสมอ แต่ส่วนต่างอันดับสอง (ส่วนต่างของส่วนต่าง) มีค่าคงที่
ลำดับเลขเรขาคณิต
- แต่ละพจน์ถูก คูณ ด้วยอัตราส่วนคงที่: $3, 6, 12, 24, \dots$ (คูณด้วย 2 ทุกครั้ง)
- พจน์ที่ n คือ $a \times r^{n-1}$, โดยที่ $a$ เป็นพจน์แรกและ $r$ เป็นอัตราส่วนร่วม
- $3 \times 2^{n-1}$: $\;n=1 \Rightarrow 3$, $\;n=4 \Rightarrow 3 \times 8 = 24$. ✓
พจน์ที่ n ของ 3, 6, 12, 24, … คือ 3 × 2^(n−1) พจน์ที่ 6 คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
3 × 2⁵ = 3 × 32 = 96.
หาค่าพจน์ที่ห้าของ uₙ = n³ + 2
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5³ + 2 = 125 + 2 = 127.
ลูกบาศก์และการตรวจสอบเลขพจน์
- พื้นฐานรวมถึงลำดับลูกบาศก์ง่าย ๆ $3,10,29,66$ มีค่ามากกว่า $1^3,2^3,3^3,4^3$ อยู่ 2 ดังนั้น $u_n=n^3+2$ พจน์ที่ห้าคือ $u_5=125+2=127$
- สำหรับ $u_n=4n+3$ ตรวจสอบว่า 100 เป็นพจน์หรือไม่ จะได้ $4n+3=100$ ดังนั้น $n=24.25$ เลขพจน์ต้องเป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น 100 จึงไม่อยู่ในลำดับนี้
คุณเข้าใจแล้ว
- ลำดับเชิงเส้น: พจน์ที่ n $= dn + c$ (ผลต่างคงที่ $d$) → $2,5,8,11 \to 3n-1$
- ลำดับกำลังสองง่าย: ผลต่างระดับที่สอง $= 2 \times$ เท่ากับสัมประสิทธิ์ $n^2$ → $2,5,10,17 \to n^2 + 1$
- เรขาคณิต: พจน์ที่ n $= a \times r^{n-1}$ (อัตราส่วนคงที่ $r$) → $3,6,12,24 \to 3 \times 2^{n-1}$