สมการ

ศิลปะโบราณแห่งการปรับสมดุล

• คำว่า "สมการ" มาจาก "equal" — ทั้งสองข้างต้องเท่ากัน เหมือนเครื่องชั่งน้ำหนัก
• ชาวบาบิลอนแก้สมการเชิงเส้น 4000 ปีที่ผ่านมาโดยใช้แท่งดินเผา ปัจจุบันเรายังใช้หลักการเดิม: ทำอย่างเดียวกันทั้งสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

สมการเชิงเส้น

• แก้โดยการ ดำเนินการทางคณิตศาสตร์เดียวกัน ทั้งสองข้าง จนกว่าตัวแปรจะเหลืออยู่คนเดียว
• $3x + 7 = 22 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$.

*แก้ด้วยการกระทำสิ่งเดียวกันทั้งสองข้าง

ระบบสมการ

• สองสมการ, ตัวแปรสองตัว. กำจัดตัวแปรหนึ่งด้วยการบวกหรือลบ
• $2x + y = 7$ และ $3x - y = 8$: การบวกจะได้ $5x = 15$, ดังนั้น $x = 3$, จากนั้น $y = 1$.

สมการกำลังสอง (ส่วนขยาย)

• สมการกำลังสอง $ax^2 + bx + c = 0$ สามารถมี สอง, หนึ่ง, หรือไม่มี คำตอบจริง
• โดยการแยกตัวประกอบ: $x^2 + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x+2)(x+3) = 0 \Rightarrow x = -2$ หรือ $x = -3$.
• โดยใช้สูตร: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ (ให้ไว้ในข้อสอบ)

รากของสมการกำลังสองคือจุดที่พาราโบลาตัดกับ $x$-แกน — ซึ่งเป็นคำตอบของ $y = 0$.

เลขชี้กำลังในการจัดรูปสมการ (แบบขยาย)

• ทำให้ตัวอักษรหนึ่งเป็น ตัวแปร โดยการย้อนกลับดำเนินการที่กระทำต่อมัน
• จัดให้ $r$ เป็นตัวแปรของ $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$: $\;r^3 = \dfrac{3V}{4\pi}$, ดังนั้น $r = \sqrt[3]{\dfrac{3V}{4\pi}}$.

สร้างสมการ แล้วเลือกวิธีทำ

• ปัญหาบัตรเข้างานให้ $2a+c=31$ และ $a+2c=26$. คูณสองเท่าของข้อหลังแล้วลบข้อแรก: $3c=21$ ดังนั้น $c=7$ จากนั้น $a=12$. ตรวจสอบผลรวมเดิมทั้งสอง
• การจัดรูปพื้นฐาน: $C=5t+8$ ให้ $C-8=5t$, แล้ว $t=(C-8)/5$. ตัวแปรเป้าหมายปรากฏเพียงครั้งเดียวและไม่มีเลขชี้กำลังหรือราก

การเติมเต็มกำลังสองและสูตร (แบบขยาย)

• $x^2+6x+5=0$ เปลี่ยนเป็น $(x+3)^2-4=0$, ดังนั้น $x+3=\pm2$, ซึ่งให้ $x=-1,-5$
• สำหรับ $2x^2+x-3=0$, เลือก $a=2,b=1,c=-3$ ใน $x=(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/(2a)$. ดังนั้น $x=(-1\pm5)/4=1,-1.5$. การแทนค่าตรวจสอบรากแต่ละตัว

สมการเศษส่วน (แบบขยาย)

• สำหรับ $x/(x+2)=3/5$, ตัด $x=-2$ ออก. คูณด้วย $5(x+2)$: $5x=3(x+2)$, ดังนั้น $2x=6$ และ $x=3$. ตรวจสอบ $3/5=3/5$
• สำหรับ $2/(x+1)+1/(x-1)=1$, ตัด $x=-1,1$ ออก. คูณตลอดด้วย $(x+1)(x-1)$: $2(x-1)+(x+1)=x^2-1$. สิ่งนี้ให้ $x^2-3x=0$, ดังนั้น $x=0$ หรือ 3; ทั้งสองเป็นที่ยอมรับได้

เส้นตรงหนึ่งเส้นและเส้นโค้งหนึ่งเส้น (แบบขยาย)

• แก้ $y=x+2$ และ $y=x^2$ โดยแทนค่า: $x^2=x+2$ ดังนั้น $(x-2)(x+1)=0$ ดังนั้น $x=2$ หรือ $-1$
• หา $y$ ที่ตรงกันสำหรับแต่ละคู่: คู่ที่ถูกต้องคือ $(2,4)$ และ $(-1,1)$ อย่าจับคู่รากหนึ่งกับค่า $y$ ของรากอีกข้าง

ปรกติสองตัว (ส่วนขยาย)

• จัดรูป $y=(3x+2)/(x-1)$ เพื่อหาค่า $x$: $y(x-1)=3x+2$ แล้ว $yx-3x=y+2$
• แยกตัวร่วมของสมการ: $x(y-3)=y+2$, จะได้ $x=(y+2)/(y-3)$, $y\ne3$. สมการเดิมยังต้องการ $x\ne1$

คุณเข้าใจแล้ว