การเติบโตและการลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | การเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล |
| compound/ˈkɒmpaʊnd/ | ดอกเบี้ยทบต้น |
| decay/dɪˈkeɪ/ | การสลายตัว |
| depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ | ค่าเสื่อมราคา |
| half-life/hɑːf laɪf/ | ครึ่งอายุ |
แบคทีเรียหนึ่งกลายเป็นพันล้าน
- แบคทีเรียแบ่งเซลล์ทุก 20 นาที. หลังจาก 10 ชั่วโมง (30 ครั้ง), เซลล์เดียวกลายเป็น $2^{30} \approx 1\,073\,741\,824$ — มากกว่าพันล้าน.
- นั่นคือ การเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล: เพิ่มร้อยละเท่าเดิมทุกช่วงเวลา, ทบต้น.
- การเติบโตแบบเชิงเส้นเพิ่มจำนวนคงที่; การเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลคูณ และมันชนะเสมอในที่สุด
สูตรทบต้น
- เมื่อปริมาณเปลี่ยนแปลงด้วย ร้อยละเท่าเดิม ทุกช่วงเวลา:
- $P$ = ค่าเริ่มต้น, $r$ = อัตราร้อยละต่อช่วงเวลา, $t$ = จำนวนช่วงเวลา.
- การเติบโต: $r > 0$; การสลายตัว: $r < 0$ (หรือใช้ตัวคูณต่ำกว่า 1).
การเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล (เส้นโค้ง) เริ่มช้าแต่ในที่สุดจะห่างจากการเติบโตแบบเชิงเส้น (เส้นตรง) มาก.
ดอกเบี้ยทบต้น (Compound interest)
เงินโตขึ้นด้วย (1 + r) ทุกปี ทำให้กราฟดอกเบี้ยทบต้นอยู่เหนือดอกเบี้ยธรรมดา ลากอัตราและจำนวนปี
การเติบโตและการลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล
y = a·bˣ
เปลี่ยน ฐาน b: b > 1 เติบโต, 0 < b < 1 ลดลง — ใช้ได้กับการดอกเบี้ยและประชากร
รถเสื่อมราคา 15% ต่อปี คุณต้องใช้ตัวคูณรายปีอะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
สูญเสีย 15% เหลือไว้ 85% ดังนั้นตัวคูณคือ 0.85
การเสื่อมราคาของรถยนต์ทุกปีเป็นตัวอย่างของ:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การสูญเสียเปอร์เซ็นต์คงที่ทุกปีคือการลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชียล (ตัวคูณ < 1, ใช้ซ้ำหลายครั้ง)
สูตรการเติบโตแบบทบต้นคือ: ค่าสุดท้าย = P × (1 + ______)^t โดยที่ r คืออัตราเป็นเปอร์เซ็นต์
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อัตรา r% ต้องแปลงเป็นทศนิยม: r/100 ดังนั้นตัวคูณคือ (1 + r/100)
การสลายตัวแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลและการเสื่อมมูลค่า
- การสลายตัว ทำงานเช่นเดียวกันด้วยตัวคูณต่ำกว่า 1.
- รถยนต์มูลค่า 20 000 หักมูลค่า 15% ต่อปี → ตัวคูณ $0.85$.
- หลัง 4 ปี: $20\,000 \times 0.85^4 = 20\,000 \times 0.5220 \approx 10\,440$.
ครึ่งชีวิต. ไอโซโทปกัมมันตรังสีสลายตัว 10% ต่อปี "ครึ่งชีวิต" ของมัน (เวลาที่จะลดเหลือครึ่งหนึ่ง) คือ $\dfrac{\ln 2}{\ln(1/0.9)} \approx 6.6$ ปี — คุณสามารถหามันได้โดยการแก้ $0.9^t = 0.5$.
รถยนต์มูลค่า 20000 ลดลง 15% ต่อปี มูลค่าหลังผ่านไป 4 ปี (ปัดเศษ nearest 10) คือ:
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
20000 × 0.85⁴ = 20000 × 0.5220 ≈ 10440.
ตัวอย่างวิธีทำ
- ประชากร 5000 เติบโต 8% ต่อปี. หลัง 6 ปี:
- $5000 \times 1.08^6 = 5000 \times 1.5869 \approx 7934$.
ทบต้น ≠ ธรรมดา. 8% ต่อปี เป็นเวลา 6 ปี ไม่ใช่ $8 \times 6 = 48\%$ รวม (นั่นจะให้ $5000 \times 1.48 = 7400$). การทบต้นให้ $58.7\%$ รวม — มากกว่า 11% เพราะการเติบโตแต่ละปีสร้างการเติบโตเอง.
ประชากร 5000 เติบโต 8% ต่อปี ประชากรหลัง 6 ปี (ปัดเศษเป็นจำนวนเต็ม) มีค่าเท่าไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5000 × 1.08⁶ = 5000 × 1.5869 ≈ 7934.
การเติบโต 8% ต่อปีเป็น 6 ปี ให้การเพิ่มขึ้นรวมที่แน่นอน 48%
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การทบต้นให้ 1.08⁶ ≈ 1.587 เป็นการเพิ่มขึ้น 58.7% — มากกว่า 48% เพราะการเติบโตสร้างการเติบโต
จุดที่การเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลปรากฏ
- โรคระบาด: การแพร่กระจายเบื้องต้นมักเป็นแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล (แต่ละคนที่ติดเชื้อเชื้อไปยังคนอื่น).
- การลงทุน: ดอกเบี้ยทบต้นคือการเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลของเงินคุณ.
- เทคโนโลยี: กฎของมัวร์ทำนายว่ากำลังการคำนวณจะเพิ่มสองเท่าทุก ~2 ปี ตลอดหลายทศวรรษ.
คุณเข้าใจแล้ว
- การเปลี่ยนแปลงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลใช้ สูตรทบต้น $P(1 + r/100)^t$
- การเติบโต = ตัวคูณ $> 1$; การสลายตัว/เสื่อมมูลค่า = ตัวคูณ $< 1$
- การสูญเสีย 15% ต่อปี → ตัวคูณ $0.85$; หลัง 4 ปี: $20\,000 \times 0.85^4 \approx 10\,440$
- เอ็กซ์โพเนนเชียลชนะเชิงเส้นเสมอในที่สุด — การทบต้นสร้างการเติบโตจากการเติบโต