รากที่สอง

ตัวเลขที่ทำให้ชาวกรีกตกใจ

• เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจตุรัสหน่วยหนึ่งคือ $\sqrt{2} \approx 1.41421356\dots$ — หลักเลขไม่ซ้ำและไม่สิ้นสุด.
• ไม่มีเศษส่วนใดเท่ากับมันได้พอดี นี่คือเหตุผลที่เราเรียกมันว่า รากไม่สมบูรณ์ (surd): รากไม่ตรรกยะที่เราเก็บไว้ในรูปแบบที่แม่นยำที่สุด.

รากไม่สมบูรณ์ (Surd) คืออะไร?

• รากไม่สมบูรณ์ คือรากที่ไม่สามารถจัดรูปให้เป็นจำนวนตรรกยะได้.
• $\sqrt{5}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt[3]{10}$ เป็นรากไม่สมบูรณ์ —它们是 ไม่ตรรกยะ.
• $\sqrt{4} = 2$ และ $\sqrt[3]{27} = 3$ ไม่ใช่ รากไม่สมบูรณ์ —因为它们จัดรูปเป็นจำนวนเต็มได้.

รากไม่สมบูรณ์มาจากเส้นทแยงมุม: สี่เหลี่ยม $1 \times 1$ มีเส้นทแยงมุม $\sqrt{2}$; สี่เหลี่ยม $2 \times 2$ มีเส้นทแยงมุม $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

กฎของรากไม่สมบูรณ์

• $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ — รวมอยู่ภายใต้รากเดียว.
• $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ — หารอยู่ภายใต้รากเดียว.
• จัดรูป โดยดึงตัวประกอบกำลังสองสมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดออกมา:

การทำให้ตัวส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ (Rationalising the denominator)

• เศษส่วนที่มีรากไม่สมบูรณ์อยู่ในตัวส่วนยังไม่อยู่ในรูปที่ง่ายที่สุด.
• คูณทั้งเศษและส่วน ด้วยรากไม่สมบูรณ์เพื่อกำจัดมันออกจากด้านล่าง:

ทำไมต้องเก็บรากไม่สมบูรณ์ไว้แบบแม่นยำ?

• $\sqrt{2} \approx 1.414$ เป็น ค่าประมาณ; $\sqrt{2}$ เป็น ค่าที่แม่นยำ.
• ในวิศวกรรมและฟิสิกส์ การปัดเศษก่อนเวลาจะทำให้ข้อผิดพลาดสะสม — การเก็บรากไม่สมบูรณ์ช่วยรักษาความแม่นยำตลอดการคำนวณที่ยาวนาน.

รากแบบเหมือนกันและตัวส่วนสองพจน์

• จัดรูปรากกำลังสองแต่ละตัวก่อน: $\sqrt{200}-\sqrt{32}=10\sqrt2-4\sqrt2=6\sqrt2$. รวมเฉพาะพจน์รากที่เหมือนกันเท่านั้น
• สำหรับ $1/(\sqrt3-1)$ ให้คูณด้วยผล-query $\sqrt3+1$: ส่วนตัวคือ $(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)=3-1=2$ ดังนั้นผลลัพธ์คือ $(\sqrt3+1)/2$; เศษส่วนที่ใช้คูณมีค่าเท่ากับ 1

คุณเข้าใจแล้ว