ประเภทของตัวเลข

คำถามที่ทำให้กรีกโบราณงุนงง

• จำนวนทุกจำนวนเป็นเศษส่วนหรือไม่? กรีกคิดว่าใช่ — จนกว่าจะมีใครพิสูจน์ได้ว่า $\sqrt{2}$ ไม่สามารถ เขียนเป็น $\dfrac{a}{b}$ ได้
• เล่าขานว่าผู้ค้นพบถูกโยนลงน้ำเพราะเปิดเผยความจริงที่ไม่สบายใจนี้
• วันนี้เราจัดกลุ่มจำนวนเป็นครอบครัว, และการแบ่งแยกนี้ — Rational vs Irrational — ยังคงเป็นประเด็นใหญ่

ครอบครัวของตัวเลข

• Natural numbers $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ — จำนวนนับ (บางนิยามรวม $0$)
• Integers $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$ — จำนวนเต็ม, บวก ลบ และศูนย์
• Rational numbers $\mathbb{Q}$ — อะไรก็ได้ที่เขียนเป็น $\dfrac{a}{b}$ โดยที่ $a, b$ เป็นจำนวนเต็มและ $b \neq 0$
• Irrational numbers — everything else ($\pi$, $\sqrt{2}$, $e$): They cannot be expressed as a fraction.

Natural → Integer → Rational, Each is a bigger family. Irrational numbers อยู่ภายนอก

Factors, Multiples and Primes

• Factor ของ $n$ หารเข้าหา $n$ ได้ลงตัว ตัวประกอบของ $12$: $1, 2, 3, 4, 6, 12$
• Multiple ของ $n$ คือ $n \times$ ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม Multiples of $5$: $5, 10, 15, 20, \dots$
• Prime มีตัวประกอบพอดี สอง ตัว: $1$ และตัวมันเอง
• $2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$ เป็น prime. $1$ ไม่เป็น prime (มีเพียงตัวประกอบเดียว)

จำนวนเต็มบวกทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็ม จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง; จำนวนอตรรกยะเช่น $\pi$ และ $\sqrt{2}$ เป็นจำนวนจริงแต่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ

Prime factorisation, HCF และ LCM

• เขียนจำนวนใดๆ เป็นผลคูณของ prime: $72 = 2^3 \times 3^2$, $120 = 2^3 \times 3 \times 5$
• HCF (Highest Common Factor):取 exponent ต่ำสุด ของ prime ที่ร่วมกัน
• HCF of $72$ and $120$ $= 2^3 \times 3 = 24$
• LCM (Lowest Common Multiple):取 exponent สูงสุด ของ every prime ที่ปรากฏ
• LCM of $72$ and $120$ $= 2^3 \times 3^2 \times 5 = 360$

แบ่งออกเรื่อยๆ จนกว่าทุกกิ่งจะสิ้นสุดที่จำนวนเฉพาะ (วงกลม); การรวบรวมผลลัพธ์จะได้ $72 = 2^3 \times 3^2$

ข้อเท็จจริงสนุกๆ

• มีจำนวนเฉพาะเป็นอนันต์ (ยูคลิดพิสูจน์ไว้ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล)
• จำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดที่ทราบถึงปัจจุบัน (ปี 2024) มีมากกว่า 41 ล้านหลัก — นั่นคือ $2^{136{,}279{,}841} - 1$ ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะเมอร์เซน

ตัวส่วนกลับและตำแหน่งของหลักเลข

• ตัวส่วนกลับของจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์เมื่อคูณกันจะได้ 1: สำหรับ $3/7$ คือ $7/3$ เพราะ $(3/7)(7/3)=1$.数为 0 ไม่มีตัวส่วนกลับ
• จัดกลุ่มตัวเลขขนาดใหญ่เป็นหน่วยพัน: 6000042 คือ หกล้านสี่สิบสอง $6\,000\,042=6(1\,000\,000)+42$; หลักเลขที่เป็นศูนย์ทำหน้าที่แทนตำแหน่งที่หายไป

คุณเข้าใจแล้ว