การดำเนินการทดสอบความเหมาะสม (Goodness-of-Fit Test)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| chi-square statistic/kaɪ skweə stəˈtɪstɪk/ | ค่าสถิติ chi-square |
สถิติ chi-square
- สถิติ chi-square เป็นผลรวมของความแตกต่างที่ปรับมาตรฐานAcross ทุกหมวดหมู่:
-
$$\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$$
- แต่ละพจน์เปรียบเทียบจำนวนที่สังเกตได้และจำนวนที่คาดหวังของแต่ละหมวดหมู่
- การยกกำลังสองทำให้ความแตกต่างทุกค่าเป็นบวก; การหารด้วยจำนวนที่คาดหวังเป็นการปรับสเกล
ความแตกต่างใหญ่ขึ้น ค่า chi-square ก็มากขึ้น
- ถ้า $\approx$ =预期 everywhere, แต่ละพจน์มีค่าน้อย → $\chi^2$ มีค่าน้อย
- ความคลาดเคลื่อนขนาดใหญ่ทำให้พจน์มีค่ามาก → $\chi^2$ มีค่ามาก
- ดังนั้น $\chi^2$ ที่มีค่ามาก เป็นหลักฐาน 反对 การแจกแจงที่อ้าง
- $\chi^2$ เสมอจะมีค่า ≥ $\ge 0$ (ผลรวมของกำลังสองเหนือจำนวนบวก)
หาค่า p-value
- ค่า p-value คือพื้นที่ทาง ขวา ของ $\chi^2$ ภายใต้กราฟ chi-square ที่ $df$ ที่ถูกต้อง
- Chi-square เป็นการทดสอบ หางขวา — เฉพาะค่าที่ใหญ่เท่านั้นที่ถือว่า " extreme"
- $\chi^2$ ที่มีค่ามากอยู่ทางขวา → ค่า p-value เล็ก → หลักฐานแรง反对 $H_0$
- ใช้เทคโนโลยีหรือตาราง $df = \text{categories} - 1$
ตัดสินใจและสรุปผล
- เปรียบเทียบค่า p กับ $\alpha$: p $\le \alpha$ → ปฏิเสธ $H_0$; มิฉะนั้น ไม่ปฏิเสธ
- ปฏิเสธ: มีหลักฐานที่น่าเชื่อถือว่าการแจกแจงจริงแตกต่างจากข้ออ้าง
- ไม่ปฏิเสธ: ไม่มีหลักฐานที่น่าเชื่อถือต่อการปฏิเสธความเข้ากันของข้ออ้าง
- ระบุให้ชัดเจนในบริบท — เกี่ยวกับการที่โมเดลเข้ากับข้อมูล
Chi-square เป็นทดสอบด้านขวาเสมอ — ห้ามคูณสองหาง ค่า $\chi^2$ ที่ใหญ่เท่านั้นที่เป็นความประหลาดใจ ดังนั้นค่า p จึงเป็น พื้นที่ด้านขวาเท่านั้น (ต่างจากการทดสอบสองข้าง $z$ หรือ $t$) นอกจากนี้ ให้ใส่ จำนวนนับ ในสูตร ไม่ใช่สัดส่วน และใช้ค่าที่คาดหวัง (ไม่ใช่ค่าสังเกต) ในตัวส่วนแต่ละตัว
ลูกเต๋า: สังเกต $8, 12, 9, 11, 10, 10$; คาดหวัง $10$ แต่ละหน้า; $df = 5$.
- $\chi^2 = \tfrac{(8-10)^2}{10} + \tfrac{(12-10)^2}{10} + \cdots = \tfrac{4+4+1+1+0+0}{10} = 1.0$.
- p-value: พื้นที่หางขวาเกิน $1.0$ ที่ $df=5$ มีค่ามาก ($\approx 0.96$).
- ตัดสินใจ: $0.96 > 0.05$ → ไม่ปฏิเสธ; ไม่มีหลักฐานว่าลูกเต๋ามีความไม่ยุติธรรม
ค่าสถิติ chi-square $\chi^2 = \sum \frac{(\text{observed} - \text{expected})^2}{\text{expected}}$ วัดความไม่สอดคล้องรวม p-value ของมันคือพื้นที่ หางขวา ที่ $df = \text{categories} - 1$ เปรียบเทียบกับ $\alpha$: ปฏิเสธ $H_0$ ถ้า p $\le \alpha$ (โมเดลเข้ากันไม่ดี) หรือ ไม่ปฏิเสธ — ระบุในบริบท
การแจกแจงการทดสอบที่เบ้ไปทางขวา
Chi-square เป็นด้านขวา — เฉพาะค่าที่สูงมากจึงเป็นค่าสุดขั้ว
หมวดหมู่หนึ่งมีค่าที่สังเกตได้ 8 และค่าที่คาดหวัง 10 คำนวณ (ค่าที่สังเกตได้ − ค่าที่คาดหวัง)² / ค่าที่คาดหวัง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
(8−10)²/10 = 4/10 = 0.4.
การทดสอบ Chi-square เป็น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เฉพาะค่า χ² ที่สูงมากจึงเป็นค่าสุดขั้ว → ด้านขวาเท่านั้น
สถิติ Chi-square ที่สูงมากเป็นหลักฐานต่อต้านแผนการแจกแจงที่อ้างถึง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ช่องว่างใหญ่ → χ² ใหญ่ → หลักฐานต่อต้าน H0
ในสูตร Chi-square ตัวหารของแต่ละพจน์คือจำนวน ___
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หารช่องว่างกำลังสองด้วยจำนวนที่คาดหวัง
สถิติ Chi-square สามารถเป็นลบได้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันคือผลรวมของกำลังสองหารด้วยค่าที่คาดหวังที่เป็นบวก — เสมอ ≥ 0