การแจกแจงแบบเรขาคณิต
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/ | เรขาคณิต |
| geometric random variable/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | ตัวแปรสุ่มเรขาคณิต |
รอเพื่อความสำเร็จครั้งแรก
- การแจกแจงแบบเรขาคณิต นับ การทดลองจนกว่าจะได้ความสำเร็จครั้งแรก
- ตัวแปรสุ่มแบบเรขาคณิต $X$ = จำนวนการทดลองที่ต้องการเพื่อให้ได้ความสำเร็จครั้งแรก
- ตัวอย่าง: ต้องลูกเต๋ากี่ครั้งจึงจะได้เลขหกครั้งแรก?
- ต่างจากไบนอมิอัล, $n$ ไม่ได้กำหนดไว้ล่วงหน้า — คุณหยุดทันทีที่ประสบความสำเร็จ
สถานการณ์แบบเรขาคณิต
- เงื่อนไขการทดลองเดียวกันกับไบนอมิอัล แต่กฎการหยุดต่างกัน:
- การทดลองที่เป็น อิสระ ซ้ำๆ แต่ละครั้งมีความน่าจะเป็น เท่ากัน $p$ ของความสำเร็จ
- คุณทำต่อไป จนกว่าจะได้ความสำเร็จครั้งแรก แล้วจึงหยุด
- "Until first success" (จนกว่าจะสำเร็จครั้งแรก) คือกุญแจสำคัญสำหรับการแจกแจงแบบเรขาคณิต
สูตรแบบเรขาคณิต
-
$$P(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p$$
- เพื่อความสำเร็จ ครั้งแรก ในการทดลอง $k$: ล้มเหลว $k-1$ ครั้งแรก แล้วจึงสำเร็จ
- $(1-p)^{k-1}$ = ความล้มเหลวเหล่านั้น; $p$ = ความสำเร็จในการทดลอง $k$
- ความน่าจะเป็นจะลดลงเมื่อ $k$ เพิ่มขึ้น — ความสำเร็จในระยะต้นมีโอกาสเกิดขึ้นมากที่สุด
ค่าเฉลี่ยแบบเรขาคณิต
- ค่าเฉลี่ย (จำนวนการทดลองที่คาดหวัง) คือ:
-
$$\mu_X = \frac{1}{p}$$
- หาก $p = 0.2$, คาดหวังว่าการทดลองจะประมาณ $1/0.2 = 5$ ครั้งก่อนจะได้ความสำเร็จครั้งแรก
- ความสำเร็จที่หายาก ($small$p$) หมายความว่าต้องรอนานขึ้น — ซึ่งมีความเป็นเหตุเป็นผลทางสัญชาตญาณ
ความแตกต่างระหว่าง Geometric กับ Binomial อยู่ที่กฎการหยุด Binomial: จำนวน $n$ ที่แน่นอน, นับ ความสำเร็จ. Geometric: ดำเนินไป จนกว่าจะสำเร็จครั้งแรก, นับ การทดลอง. ถ้าปัญหาระบุจำนวนครั้งที่พยายามไว้它就是binomial; ถ้าบอกว่า "until the first…", มันคือgeometric. และค่าเฉลี่ยแบบ geometric คือ $1/p$ — ไม่ใช่ $np$.
ลูกเต๋าจนกว่าจะได้เลขหก; $p = 1/6$
- $P(X = 3) = (5/6)^2 (1/6) = \tfrac{25}{36}\cdot\tfrac{1}{6} \approx 0.116$ — เลขหกครั้งแรกปรากฏ在第$3$次投掷
- Mean: คาดหวังว่าจะต้องลูกเต๋า $\mu_X = 1/(1/6) = 6$ ครั้งก่อนจะได้เลขหกครั้งแรก
- มีความเป็นเหตุเป็นผล — เลขหกออกโดยเฉลี่ยทุก 6 ครั้ง
ตัวแปรสุ่มแบบเรขาคณิต นับ การทดลองจนกว่าจะได้ความสำเร็จครั้งแรก, ด้วยการทดลองที่เป็นอิสระที่ค่า $p$ คงที่. จากนั้น $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ และ mean คือ $\mu_X = \frac{1}{p}$. จุดต่างที่สำคัญกับ binomial: geometric ดำเนินไปจนกว่าจะสำเร็จครั้งแรก (การทดลองแปรผัน), binomial มี $n$ ที่แน่นอน
โยกลูกเต๋าจนกว่าจะสำเร็จครั้งแรก
โยกไปเรื่อยๆ จนกว่าเป้าหมายจะปรากฏ — นั่นคือการนับแบบเรขาคณิต.
ตัวแปรแบบเรขาคณิตมี p = 0.2. หาจำนวนการทดลองเฉลี่ย, 1/p.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
μ = 1/p = 1/0.2 = 5.
สถานการณ์ใดเป็นแบบเรขาคณิต (ไม่ใช่แบบเบย์เซส)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
'จนกว่าจะสำเร็จครั้งแรก' → เรขาคณิต; n คงที่ → เบย์เซส.
โยกลูกเต๋าจนกว่าจะได้เลขหก (p = 1/6). หาจำนวนครั้ง المتوقع.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
μ = 1/p = 1/(1/6) = 6.
ในสูตรเรขาคณิต P(X=k) = (1−p)^(k−1)·p, ส่วน (1−p)^(k−1) คือความล้มเหลว k−1 ครั้งแรก.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ล้มเหลว k−1 ครั้ง แล้วสำเร็จในการทดลองครั้งที่ k.
ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มแบบเรขาคณิตคือ 1 หารด้วย ___ (ตัวอักษรของความน่าจะเป็นสำเร็จ).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
μ = 1/p.