การแจกแจงแบบไบนอมิאל
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| binomial/baɪˈnəʊmɪəl/ | ทวินาม |
| binomial random variable/baɪˈnəʊmɪəl ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | ตัวแปรสุ่มทวินาม |
| binomial setting/baɪˈnəʊmɪəl ˈsetɪŋ/ | บริบททวินาม |
| geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/ | เรขาคณิต |
การนับความสำเร็จ
- การแจกแจง binomial นับ ความสำเร็จในจำนวนครั้งที่กำหนด
- ตัวแปรสุ่มแบบ binomial $X$ = จำนวนความสำเร็จใน $n$ ครั้ง
- ตัวอย่าง: จำนวนหัวใน $10$ ครั้ง toss, หรือคำตอบที่ถูกใน $5$ ข้อสอบ
- มันเป็นหนึ่งในการแจกแจงที่มีประโยชน์ที่สุดในสถิติ
เงื่อนไข BINS
- สี่เงื่อนไขกำหนด สถานการณ์แบบ binomial (จำ BINS ได้):
- Binary — ทุกครั้งเป็นการสำเร็จ/ล้มเหลว Independent — ครั้งไม่ส่งผลต่อกัน
- Number — จำนวน ครั้งที่กำหนด $n$ Same — ความน่าจะเป็นคงที่ $p$ ต่อครั้ง
- ทั้งสี่ข้อต้องเป็นจริง มิฉะนั้นไม่ใช่แบบ binomial
สูตร binomial
-
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$$
- $\binom{n}{k}$ นับวิธีการวาง $k$ ความสำเร็จใน $n$ ครั้ง
- $p^k$ คือโอกาสของ $k$ ความสำเร็จ tersebut; $(1-p)^{n-k}$ คือ $n-k$ ความล้มเหลว
- คูณจำนวนการจัดเรียงกับความน่าจะเป็นของแต่ละรายการ
Binomial vs. Geometric
- Binomial: มี $n$ คงที่; คุณนับ ว่ามีการสำเร็จกี่ครั้ง
- Geometric: คุณทำต่อไปจนกว่าจะได้ ความสำเร็จครั้งแรก; คุณนับ ว่าใช้กี่ครั้ง
- จำนวนครั้งที่กำหนด → binomial; "จนกว่าจะสำเร็จครั้งแรก" → geometric
- การระบุว่าเป็นสถานการณ์แบบไหนคือการเริ่มต้นแรก在任何问题中
ตรวจสอบเงื่อนไข BINS ทั้งสี่ก่อนใช้สูตร — โดยเฉพาะ ความเป็นอิสระ และ ค่า $p$ ที่คงที่ การสุ่มไพ่ โดยไม่แทนที่ ทำให้ทั้งสองข้อนี้ไม่ถูกต้อง ($p$ เปลี่ยนแปลง, การทดลองขึ้นอยู่กับกัน) ดังนั้นจึงไม่ใช่การแจกแจงแบบไบนอมิอัล และอย่าสับสนกับ เรขาคณิต: ไบนอมิอัลมี จำนวน $n$ ที่แน่นอน; เรขาคณิตจะดำเนินการจนกว่าจะได้ความสำเร็จครั้งแรก
แบบทดสอบปรนัย: $5$ ข้อ, สุ่มตอบ, $p = 0.25$ ถูกแต่ละข้อ. $X =$ จำนวนข้อที่ถูก
- BINS? เป็นแบบทวิภาค (ถูก/ผิด), เป็นอิสระ, จำนวน $n=5$ ที่แน่นอน, ค่า $p=0.25$ เดียวกัน ✓ การแจกแจงแบบไบนอมิอัล
- $P(X = 2) = \binom{5}{2}(0.25)^2(0.75)^3 = 10 \times 0.0625 \times 0.4219 \approx 0.264$.
- ดังนั้นมีความน่าจะเป็นประมาณ $26\%$ ที่จะถูกต้องเป๊ะ ๆ $2$ ข้อ
ตัวแปรสุ่มแบบไบนอมิอัล นับจำนวนความสำเร็จใน $n$ การทดลองที่มีจำนวนแน่นอน ใช้ได้เมื่อเป็นไปตามเงื่อนไข BINS (Binary, Independent, fixed Number, Same $p$). จากนั้น $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$. สถานการณ์แบบ ไบนอมิอัล มี $n$ ที่แน่นอน; สถานการณ์แบบ เรขาคณิต จะดำเนินไปจนกว่าจะได้ความสำเร็จครั้งแรก
การแจกแจงแบบไบนอมิאל
แท่งแสดง P(X=k) สำหรับความสำเร็จใน n ครั้ง
ข้อใดไม่ใช่หนึ่งในสี่เงื่อนไขของไบนอมิאל (BINS)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
BINS = Binary, Independent, fixed Number, Same p. การสุ่มตัวอย่างไม่ได้จำเป็น
การสุ่มบัตรโดยไม่แทนที่ (Without replacement) ไม่ถือเป็นแบบเบย์เซส的主要原因คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การไม่แทนที่ทำให้ p ที่คงที่และความอิสระถูกทำลาย.
มีกี่วิธีที่จะเกิดความสำเร็จ 2 ครั้งในการทดลอง 5 ครั้ง? คำนวณ C(5,2).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
C(5,2) = 10.
การตั้งค่าแบบเรขาคณิตนับจำนวนการทดลองจนกว่าจะสำเร็จครั้งแรก ต่างจากการตั้งแบบเบย์เซสที่มี n คงที่.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n คงที่ → แบบเบย์เซส; จนกว่าจะสำเร็จครั้งแรก → เรขาคณิต.
คำทอถนอมสำหรับเงื่อนไขทั้งสี่ของแบบเบย์เซสคือ ___ (สี่ตัวอักษร).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แบบสองทาง, อิสระ, จำนวนคงที่, p เดียวกัน.