การรวมตัวแปรสุ่ม
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | การแปลงเชิงเส้น |
การปรับสเกลและการเลื่อน
- การแปลงเชิงเส้น $aX + b$ ขยายขนาดด้วย $a$ และเลื่อนตำแหน่งด้วย $b$
- ค่าเฉลี่ย: $\mu_{aX+b} = a\,\mu_X + b$ — ทั้งการขยายและการเลื่อนส่งผ่าน
- SD: $\sigma_{aX+b} = |a|\,\sigma_X$ — การขยายทำให้การกระจายกว้างขึ้น; การเลื่อนไม่ทำให้
- การบวกค่าคงที่ย้ายจุดศูนย์กลางแต่ทิ้งการกระจายไว้เท่าเดิม
ค่าเฉลี่ยของผลบวกและผลต่าง
- ค่าเฉลี่ย บวกกันเสมอ (หรือลบกัน) ไม่ต้องมีเงื่อนไข:
-
$$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y \qquad \mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y$$
- ค่าที่คาดหวังรวมกันในเชิงเส้น ไม่ว่าตัวแปรจะอิสระต่อกันหรือไม่ก็ตาม
- นี่คือกฎที่ง่ายและถูกต้องเสมอ
SD ของผลบวกและผลต่าง
- ความแปรปรวนบวกกัน สำหรับตัวแปร อิสระ — แม้จะเป็นผลต่างก็ตาม:
-
$$\sigma_{X \pm Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$$
- จากนั้น $\sigma_{X\pm Y} = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$.
- ระวัง $+$: คุณต้องบวกความแปรปรวนแม้ว่าจะลบตัวแปร
การรวมปกติที่เป็นอิสระ
- ผลบวกหรือผลต่างของตัวแปรสุ่ม ปกติที่เป็นอิสระ เป็น ปกติ เช่นกัน
- ค่าเฉลี่ยและ SD มาจากกฎข้างต้น ($\mu$ บวก/ลบ; ความแปรปรวนบวก)
- ดังนั้นคุณสามารถหาความน่าจะเป็นสำหรับตัวแปรที่รวมกันได้โดยใช้โมเดลปกติ
- สิ่งนี้ทำให้คำถามเกี่ยวกับตัวแปรสองตัวแก้ได้ในขั้นตอนเดียวอย่างชัดเจน
กับดักสองอย่าง (1) เมื่อคุณ ลบ ตัวแปร คุณยังคง บวก ความแปรปรวน שלה ($\sigma_{X-Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — ห้ามลบความแปรปรวนเด็ดขาด (2) ห้ามบวกส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยตรง ($\sigma_X+\sigma_Y$ ผิด); ให้บวก ความแปรปรวน แล้วรากที่สอง ทั้งสองกฎต้องการให้ตัวแปรเป็น อิสระต่อกัน
$X$ (mean $10$, SD $3$) และ $Y$ (mean $4$, SD $4$) เป็น อิสระต่อกัน
- Mean of $X-Y$: $10 - 4 = 6$
- Variance: $\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 9 + 16 = 25$ (บวก, แม้จะเป็นผลต่าง)
- SD of $X-Y$: $\sqrt{25} = 5$
การ แปลงเชิงเส้น: $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$ แต่ $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$ (การเลื่อนไม่ส่งผลต่อการกระจาย) ค่าเฉลี่ยบวก/ลบ เสมอ; สำหรับตัวแปร อิสระ ความแปรปรวนบวก ($\sigma_{X\pm Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — แม้จะเป็นผลต่าง การรวมของ ปกติที่เป็นอิสระ เป็นปกติ
ตัวแปรปกติที่รวมกัน
ผลบวก/ผลต่างของตัวแปรปกติที่เป็นอิสระกัน仍然是 normal.
X มี mean 10, Y มี mean 4. หา mean ของ X − Y
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
mean หักลบ: 10 − 4 = 6
X มี SD 3, Y มี SD 4, เป็นอิสระ. หา SD ของ X − Y
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ความแปรปรวนบวกกัน: 9 + 16 = 25, ดังนั้น SD = √25 = 5
เมื่อหักล้างตัวแปรสุ่มที่เป็นอิสระสองตัว คุณหักความแปรปรวนของพวกมัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความแปรปรวนบวกกันแม้สำหรับการห้อย — อย่าเคยหักลบมัน
สำหรับการแปลง 2X + 5, ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะกลายเป็น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
SD สเกลตาม |a| แต่การเลื่อน +5 ไม่ส่งผลต่อการกระจาย
ในการรวมส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรที่เป็นอิสระ, คุณควรบวก SD โดยตรง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
บวกความแปรปรวนก่อน แล้วจึงรากที่สอง — ไม่ใช่ SD