ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่ม
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/ | ค่าที่คาดหมาย |
| variance/ˈveərɪəns/ | ความแปรปรวน |
The long-run average
- The mean (หรือ expected value) of a random variable คือlong-run average outcome ของมัน
- ค่า $\mu_X$ หรือ $E(X)$ — จุดสมดุลของการแจกแจง
- มันคือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก: โดยแต่ละค่าถูกถ่วงด้วยความน่าจะเป็นของมัน
- เมื่อทำซ้ำหลายครั้ง ผลลัพธ์เฉลี่ยจะเข้าใกล้ $\mu_X$
การคำนวณค่าเฉลี่ย
-
$$\mu_X = \sum x_i \, P(x_i)$$
- คูณแต่ละค่าด้วยความน่าจะเป็น แล้วนำผลคูณทั้งหมดมารวมกัน
- ค่าเฉลี่ยอาจ ไม่ใช่ ค่าที่เป็นไปได้ (เช่น "ครอบครัวที่มี $2.5$ เด็ก")
- มันคือค่าเฉลี่ย ไม่ใช่การคาดการณ์ของผลลัพธ์ในครั้งเดียว
ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
- ความแปรปรวน $\sigma_X^2 = \sum (x_i - \mu_X)^2 \, P(x_i)$ — คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของ ระยะห่างกำลังสอง จากค่าเฉลี่ย
- ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ นำกลับไปยังหน่วยเดิม
- ค่า $\sigma_X$ ที่ใหญ่ขึ้น = ผลลัพธ์กระจายตัวมากขึ้นรอบๆ ค่าเฉลี่ย
- ยกกำลังสองส่วนต่าง, ถ่วงน้ำหนักด้วยความน่าจะเป็น, รวมแล้วTaking root สี่เหลี่ยม
การตีความส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
- $\sigma_X$ คือ ระยะห่างทั่วไป ของผลลัพธ์จากค่าเฉลี่ย $\mu_X$
- ค่า $\sigma_X$ เล็ก: ผลลัพธ์กระจุกตัวแน่นใกล้กับค่าที่คาดหวัง
- ค่า $\sigma_X$ ใหญ่: ผลลัพธ์แกว่งกว้างจากการทดลองหนึ่งไปอีกหนึ่ง
- bersama-sama, $\mu_X$ (จุดศูนย์กลาง) และ $\sigma_X$ (การกระจาย) สรุปภาพรวมของการแจกแจงได้
ค่าที่คาดหวังคือค่าเฉลี่ยในระยะยาว ไม่ใช่ผลลัพธ์ที่รับประกันหรือแม้แต่เป็นไปได้ คำว่า $E(X)=2.5$ เด็ก หมายถึง ค่าเฉลี่ย จากหลายครอบครัว ไม่ใช่ اینکهครอบครัวใดมี $2.5$ คน และคำนวณ SD จาก ความแปรปรวน: ยกกำลังสองส่วนต่างก่อน, ถ่วงน้ำหนัก, รวม, แล้ว คำนวณรากที่สอง — อย่าเฉลี่ยระยะทางดิบ
เกม: ชนะ $5$ ดอลลาร์ ด้วยความน่าจะเป็น $0.2$, มิฉะนั้นชนะ $0$ ให้ $X$ แทนจำนวนเงินที่ได้รับ
- ค่าเฉลี่ย: $\mu_X = 5(0.2) + 0(0.8) = 1$ ดอลลาร์ — ผลตอบแทนเฉลี่ยในระยะยาว
- ความแปรปรวน: $(5-1)^2(0.2) + (0-1)^2(0.8) = 3.2 + 0.8 = 4$
- SD: $\sigma_X = \sqrt{4} = 2$ ดอลลาร์ — ระยะห่างทั่วไปจากค่าเฉลี่ย $1$
ค่าเฉลี่ย (ค่าที่คาดหวัง) $\mu_X = \sum x_i P(x_i)$ คือค่าเฉลี่ยในระยะยาว — ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักที่อาจไม่ใช่ค่าที่เป็นไปได้ ความแปรปรวน $\sigma_X^2 = \sum (x_i-\mu_X)^2 P(x_i)$ และ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ วัด ระยะห่างทั่วไป ของผลลัพธ์จาก $\mu_X$
การถ่วงน้ำหนักค่าด้วยความน่าจะเป็น
ค่าเฉลี่ยคือจุดสมดุลของการแจกแจงนี้ที่ถ่วงน้ำหนักแล้ว
X ชนะ 5 ด้วยความน่าจะเป็น 0.2, อื่นๆ ได้ 0. หาค่าเฉลี่ย E(X) = 5(0.2)+0(0.8)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
5(0.2) + 0(0.8) = 1.
ด้วยค่าเฉลี่ย 1: ความแปรปรวน = (5−1)²(0.2)+(0−1)²(0.8). จากนั้นหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ความแปรปรวน = 3.2 + 0.8 = 4, ดังนั้น SD = √4 = 2
ค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มต้องเป็นหนึ่งในค่าที่เป็นไปได้ของมัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันเป็นค่าเฉลี่ยระยะยาว — เช่น 2.5 เด็ก — อาจไม่บรรลุได้ในความเป็นจริง
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรสุ่มวัด...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
SD = การกระจายปกติรอบๆ ค่าเฉลี่ย
ค่าเฉลี่ยของตัวแปรสุ่มยังเรียกว่าค่า ___ ของมัน (คำเดียว)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Mean = expected value = long-run average.