Exponential and Logarithmic Equations (指数和对数方程)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| exponential equation/ˌekspəˈnenʃl ɪˈkweɪʒn/ | สมการเลขยกกำลัง |
| logarithmic equation/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ɪˈkweɪʒn/ | สมการลอการิทึม |
| extraneous/ekˈstreɪnɪəs/ | รากเทียม |
การหาลูกเอ็กซ์ปอนेंटที่ซ่อนอยู่
- "$2$ ยกกำลัง อะไร ถึงจะเท่ากับ $5$?" เป็นสมการที่ตัวแปรอยู่ในตำแหน่งลูกเอ็กซ์ปอนेंट.
- คุณไม่สามารถนำมันไปหารออกได้โดยตรง — เพราะตัวแปรถูกกักขังอยู่ภายในเลขชี้กำลัง.
- ลอการิทึมคือเครื่องมือที่จะปลดปล่อยมันออกมา, และรูปเลขชี้กำลังจะช่วยปลดล็อกสมการลอการิทึม.
- ระหว่างขั้นตอนทั้งสองนี้ คุณสามารถแก้สมการเลขชี้กำลังหรือสมการลอการิทึมได้เกือบทุกประเภท.
การแก้สมการเลขชี้กำลัง
- สมการเลขชี้กำลัง คือสมการที่มีตัวแปรอยู่ในตำแหน่งลูกเอ็กซ์ปอนेंट เช่น $2^x = 8$.
- หากทั้งสองข้างสามารถใช้ฐานร่วมกันได้ ให้จับให้ตรงกัน: $2^x = 2^3$ จะให้ $x = 3$.
- หากฐานไม่ตรงกัน ให้ทำลอการิทึมของทั้งสองข้าง.
- จากนั้นกฎเลขชี้กำลังจะดึงลูกเอ็กซ์ปอนेंटลงมาเพื่อให้ง่ายต่อการหาคำตอบ.
Find where the exponential reaches a target value (找到指数函数达到目标值的位置)
y = 2ˣ
การแก้ 2ˣ = 5 คือการหาค่า x ที่กราฟนี้ตัดระดับความสูง 5 ลอการิทึมจะให้ค่า x นั้นอย่างแม่นยำ
แก้ $2^x = 8$ โดยการจับคู่ฐานให้เท่ากัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$8 = 2^3$ ดังนั้น $2^x = 2^3$ จึงได้ $x = 3$ — ฐานที่เท่ากันต้องทำให้เลขชี้กำลังเท่ากันด้วย
ในการแก้ $2^x = 5$ เมื่อฐานไม่สามารถจับคู่กันได้ คุณควร…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การใช้ $\log$ ทั้งสองด้านจะดึงเลขชี้กำลังลงมา: $x = \log_2 5 \approx 2.32$
การแก้สมการลอการิทึม
- สมการลอการิทึม คือสมการที่มีตัวแปรอยู่ภายในลอปการิทึม เช่น $\log_2 x = 4$.
- เขียนใหม่ในรูปเลขชี้กำลัง: $\log_2 x = 4$ หมายความว่า $x = 2^4 = 16$.
- หากมีหลายลอปการิทึม ให้อยู่รวมเป็นหนึ่งก่อน แล้วจึงแปลง.
- รูปเลขชี้กำลังคือกุญแจสำคัญสำหรับสมการลอปการิทึมที่มีเพียงตัวเดียว.
แก้ สมการลอการิทึม $\log_2 x = 4$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เขียนใหม่ในรูปเลขชี้กำลัง: $x = 2^4 = 16$
ตรวจสอบหาคำตอบที่ไม่ใช่คำตอบจริง (Extraneous solutions)
- การแก้สมการอาจให้คำตอบที่เป็นไปได้แต่ขัดแย้งกับโดเมนของสมการเดิม
- ลอการิทึมต้องการค่าภายในที่เป็นบวก ดังนั้นคำตอบใดที่ทำให้ $\log(\text{negative})$ จึงถูกปฏิเสธ
- คำตอบที่ผิดเช่นนี้เรียกว่า คำตอบส่วนเกิน (extraneous solution)
- เสมอต้องแทนค่ากลับและตรวจสอบว่าทุกค่าภายในลอบาริทึมเป็นบวก
คำตอบที่อาจเป็นไปได้ซึ่งทำให้ค่าภายในของลอการิทึมติดลบ ต้องถูกปฏิเสธว่าเป็น ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คำตอบ เกินมา (extraneous) เป็นไปตามสมการที่จัดรูปใหม่แต่ขัดแย้งกับโดเมนเดิม — ต้องตรวจสอบเสมอ
Select ทั้งหมด true statements about solving these equations. (选择关于解这些方程的所有正确陈述)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
บางคำตอบอาจเป็นคำตอบเกินมาและต้องถูกปฏิเสธ ส่วนอีกสามข้อเป็นกลยุทธ์ที่ถูกต้อง
อสมการ
- ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมมีลักษณะ monotonic — เพิ่มขึ้นเสมอหรือลดลงเสมอ
- ดังนั้นอสมการอย่าง $2^x > 8$ จึงแก้ได้แบบเดียวกัน โดยรักษาทิศทาง: $x > 3$
- สำหรับฐานที่ลดลง ($0 < b < 1$) ทิศทางของอสมการจะกลับด้าน
- แก้เป็นสมการก่อน แล้วจึงพิจารณาว่าด้านใดของจุดแบ่งที่สอดคล้องกับอสมการนั้น
อย่าลืมตรวจสอบคำตอบของสมการลอบาริทึม การแก้ $\log(x) + \log(x-3) = 1$ อาจให้ผลทั้ง $x = 5$ และ $x = -2$ แต่ $x = -2$ ทำให้ $\log(-2)$ ไม่สามารถคำนวณได้ — เป็น คำตอบส่วนเกิน และต้องทิ้งไป
แก้ $2^x = 5$
- ฐานจะไม่เท่ากัน ดังนั้นให้ทำ $\log_2$ ทั้งสองข้าง
- $\log_2(2^x) = \log_2 5$ และฝั่งซ้ายจะลดรูปเหลือ $x$
- ดังนั้น $x = \log_2 5 \approx 2.32$ — ซึ่งคือเลขชี้กำลังที่ลอบาริทึมเปิดเผยออกมา
แก้ สมการเอ็กซ์โพเนนเชียล โดยการทำให้ฐานเท่ากัน หรือใช้การทำลอบาริทึมเพื่อดึงเลขชี้กำลังลงมาแก้ สมการลอบาริทึม ให้เขียนในรูปเอ็กซ์โพเนนเชียล ตรวจสอบ คำตอบส่วนเกิน เสมอ เนื่องจากค่าภายในของลอบาริทึมต้องเป็นบวก