การจัดการกับนิพจน์เลขชี้กำลัง

คำศัพท์

English	ความหมาย
quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/	กฎของควอเทียนต์
base/beɪs/	ฐาน
product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/	กฎของผลคูณ
power rule/ˈpaʊə ruːl/	กฎของกำลัง
equivalent/ɪˈkwɪvələnt/	เทียบเท่า

กฎสำหรับการรวมเลขชี้กำลัง

เมื่อตัวแปรอาศัยอยู่ในเลขชี้กำลัง กฎชุดเล็กๆ จะช่วยให้คุณจัดรูป Anything ได้
คูณเลขชี้กำลัง หาร它们 ยกกำลังเป็นกำลัง — แต่ละอย่างมีทางลัด
ทางลัดเหล่านี้แปลงนิพจน์ที่น่ากลัวให้ง่ายลง
พวกมันยังช่วยให้คุณสามารถเขียนฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลในรูปแบบที่มีประโยชน์ยิ่งขึ้น

กฎคูณและกฎหาร

การคูณเลขชี้กำลังของ ฐาน เดียวกัน บวก เลขชี้กำลัง: กฎผลคูณ $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$
การหารกันจะ ลด เลขชี้กำลังลง: กฎผลหาร $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$
ฐานต้องเป็น เหมือนกัน เพื่อให้ใช้กฎใดกฎหนึ่งได้
สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับสัญชาตญาณ: $2^2 \cdot 2^3 = 4 \cdot 8 = 32 = 2^5$

สำรวจ

ทุกก้าวไปทางขวาจะคูณด้วยฐาน

y = a·bˣ

อ่านค่า y ที่ x = 1, 2, 3 แต่ละค่าเท่ากับฐานคูณค่าก่อนหน้า — นั่นคือเหตุผลว่าทำไม bˣ⁺¹ = bˣ · b

ฝึกฝน

กฎผลคูณ สำหรับเลขชี้กำลังระบุว่า $b^m \cdot b^n =$

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$b^{m+n}$
$b^{mn}$
$b^{m-n}$
$2b^{m+n}$

ฝึกฝน

กฎผลหาร ระบุว่า $\dfrac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

กฎของเลขชี้กำลัง (Power Rule)

การยกกำลังสองของกำลังจะ คูณ เลขชี้กำลัง: กฎเลขชี้กำลัง $(b^m)^n = b^{mn}$
ดังนั้น $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ สอดคล้องกับ $8^2 = 64$
การเคลื่อนที่ไปทางขวาบนกราฟหนึ่งหน่วยจะคูณผลลัพธ์ด้วยฐาน
กฎเหล่านี้ร่วมกันอธิบายว่าทำไมฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลถึงเติบโตแบบนั้น

เส้นโค้งเอ็กซ์โพเนนเชียล whose value doubles at each unit step: 2, 4, 8 — การเลื่อนไปทางขวาแต่ละครั้งคูณด้วยฐาน นั่นคือเหตุผลที่ bˣ⁺¹ = bˣ · b

ฝึกฝน

กฎกำลัง ระบุว่า $(b^m)^n =$

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

$b^{m+n}$
$b^{mn}$
$b^{m/n}$
$b^m + b^n$

การเลื่อนเลขชี้กำลัง

การเลื่อนในเลขชี้กำลังจะกลายเป็นตัวคูณคงที่: $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$
ดังนั้น $2^{x+3} = 2^x \cdot 8$ — การย้ายกราฟไปทางซ้ายเท่ากับขยายขนาดมันขึ้น
สิ่งนี้เชื่อมโยงการแปลงรูปของเอ็กซ์โพเนนเชียลเข้ากับกฎเลขชี้กำลัง
การยืดแนวตั้งและการเลื่อนแนวนอนอาจเป็นเอ็กซ์โพเนนเชียลเดียวกันที่ซ่อนอยู่

ฝึกฝน

โดยใช้ $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$ เราสามารถเขียน $2^{x+3}$ ใหม่เป็น $2^x$ คูณด้วย ____

Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today

การเปลี่ยนฐาน

เอ็กซ์โพเนนเชียลใดๆ สามารถเขียนใหม่ด้วยฐานอื่นเมื่อจำเป็น
ตัวอย่างเช่น $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ — ฟังก์ชันเดียวกัน ใช้ฐาน $2$ แทน $4$
การเขียนใหม่เป็นฐานเดียวกันแสดงว่าเอ็กซ์โพเนนเชียลทั้งสองมีค่า เทียบเท่ากัน
เลือกฐานที่ทำให้การเปรียบเทียบหรือคำนวณง่ายที่สุด

ฝึกฝน

เลือก ทุก กฎเลขชี้กำลังที่ถูกต้อง

Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today

$b^m \cdot b^n = b^{m+n}$
$(b^m)^n = b^{mn}$
$b^0 = 1$ (สำหรับ $b \neq 0$)
$b^m + b^n = b^{m+n}$

Watch out

กฎใช้สำหรับ การคูณและการหาร กำลังสองเท่านั้น ไม่ใช้สำหรับการบวก $b^m + b^n$ ไม่ ลดรูปเป็น $b^{m+n}$ — นั้นคือข้อผิดพลาดคลาสสิก คุณสามารถรวมเลขชี้กำลังได้ก็ต่อเมื่อกำลังสองถูกคูณหรือหารเท่านั้น

Example

ลดรูป $\dfrac{2^{x+3}}{2^x}$

กฎผลหาร: ลบเลขชี้กำลัง → $2^{(x+3) - x} = 2^3$
ดังนั้น-expression ทั้งหมดมีค่าเท่ากับ $2^3 = 8$ ซึ่งเป็นค่าคงที่
$2^x$ หักล้างกันเพราะพจน์ทั้งสองมีฐาน $2$ ร่วมกัน

Key idea

กฎเลขชี้กำลังช่วยให้คุณจัดเรียงกำลังสองของ ฐาน เดียวกัน: กฎผลคูณ บวกเลขชี้กำลัง, กฎผลหาร ลบเลขชี้กำลัง และ กฎเลขชี้กำลัง คูณเลขชี้กำลัง การเลื่อน $b^{x+k} = b^x \cdot b^k$ เปลี่ยนเป็นตัวคูณ และการเขียน ulangเป็นฐานเดียวกันแสดงว่า-expression สองอันมีค่า เทียบเท่ากัน