อนุกรมเลขคณิตและเรขาคณิต
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| arithmetic sequence/əˈrɪθmətɪk ˈsiːkwəns/ | อนุกรมเลขคณิต |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | ผลต่างร่วม |
| geometric sequence/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsiːkwəns/ | อนุกรมเรขาคณิต |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | อัตราส่วนร่วม |
| explicit/ekˈsplɪsɪt/ | รูปแบบชัดเจน |
| recursive/rɪˈkɜːsɪv/ | แบบ.saved |
วิธีสองแบบในการเพิ่มรายการ
- เริ่มที่ $2$ และ บวก $2$ ไปเรื่อยๆ: จะได้ $2, 4, 6, 8, \dots$
- เริ่มที่ $1$ และ คูณด้วยสอง ไปเรื่อยๆ: จะได้ $1, 2, 4, 8, \dots$
- ทั้งสองเป็นรายการลำดับของตัวเลข — ลำดับเลข — แต่เติบโตในรูปแบบที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง
- ตัวหนึ่งบวกจำนวนเท่าเดิม; อีกตัวคูณด้วยจำนวนเท่าเดิม
ลำดับเลขคณิต: บวกจำนวนเท่าเดิม
- ลำดับเลขคณิต บวกจำนวนคงที่เพื่อเปลี่ยนจากพจน์หนึ่งไปยังพจน์ถัดไป
- จำนวนคงที่นี้เรียกว่า ส่วนต่างร่วม
- ใน $5, 8, 11, 14, \dots$ ส่วนต่างร่วมคือ $+3$
- เมื่อวาดกราฟ พจน์ต่างๆ จะเรียงอยู่บนเส้นตรง — เติบโตอย่างสม่ำเสมอและเป็นเชิงเส้น
อนุกรมเลขคณิต มีค่าคงที่…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แต่ละพจน์คือพจน์ก่อนหน้า บวก ผลต่างร่วม ที่ตายตัว — การบวกที่มั่นคงทำให้เป็นเลขคณิต
ลำดับเรขาคณิต: คูณด้วยจำนวนเท่าเดิม
- ลำดับเรขาคณิต คูณด้วยจำนวนคงที่ในแต่ละขั้นตอน
- จำนวนคงที่นี้เรียกว่า อัตราส่วนร่วม
- ใน $3, 6, 12, 24, \dots$ อัตราส่วนร่วมคือ $\times 2$
- เมื่อวาดกราฟ พจน์ต่างๆ จะโค้งขึ้นอย่าง increasingly steeply
เดินผ่านพจน์ของอนุกรมทีละพจน์
เปลี่ยนอัตราส่วนร่วมและดูอนุกรมเรขาคณิตโค้งขึ้นเร็วมากเหนืออนุกรมเลขคณิตใดๆ
อนุกรมเรขาคณิต มีค่าคงที่…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แต่ละพจน์คือพจน์ก่อนหน้า คูณ อัตราส่วนร่วม ที่ตายตัว — การคูณที่มั่นคงทำให้เป็นเรขาคณิต
กฎแบบชัดแจ้งและแบบย้อนกลับ
- กฎแบบชัดแจ้ง ชี้ตำแหน่งพจน์ใดๆ ได้โดยตรง: ลำดับเลขคณิต $a_n = a_1 + (n-1)d$; ลำดับเรขาคณิต $a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$
- กฎแบบย้อนกลับ สร้างพจน์แต่ละตัวจากพจน์ก่อนหน้า: $a_n = a_{n-1} + d$ หรือ $a_n = a_{n-1} \cdot r$
- กฎแบบชัดแจ้งดีที่สุดสำหรับการหาพจน์ที่ 100 โดยไม่ต้องเขียนทั้งหมดออกมาก่อน
- กฎแบบย้อนกลับสะท้อนวิธีการสร้างลำดับจริง ทีละขั้นตอน
กฎ ____ กำหนดแต่ละพจน์โดยใช้พจน์ก่อนหน้า
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
กฎ แบบย้อนกลับ เช่น $a_n = a_{n-1} + 3$ สร้างจากพจน์ก่อนหน้า; กฎแบบชัดแจ้งกระโดดตรงไปที่ $a_n$
อนุกรมเรขาคณิตเริ่มด้วย $3, 6, 12, 24, \dots$. พจน์ที่ 5 คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อัตราส่วนร่วมคือ $2$ ดังนั้นพจน์ที่ 5 คือ $24 \times 2 = 48$
ตัวไหนเติบโตเร็วกว่ากัน
- ในช่วงแรก ลำดับเลขคณิตอาจนำหน้าอยู่
- แต่ลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วน $> 1$ ใดก็ตาม จะแซงหน้า它在 eventually — และจากนั้นก็จะทิ้งห่าง它以เร็ว
- การบวกคือเชิงเส้น; การคูณคือเอกซ์โพเนนเชียล, และเอกซ์โพเนนเชียลชนะเสมอในระยะยาว
- นี่คือความแตกต่างเดียวกันที่แยกฟังก์ชันเชิงเส้นออกจากฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
เลือก ทั้งหมด ประโยคที่ถูกต้องเกี่ยวกับอนุกรมเหล่านี้
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อนุกรมสามารถเริ่มต้นที่ค่าใดก็ได้ สามข้อที่เหลืออธิบายความแตกต่างของการบวกvsคูณได้ถูกต้อง
ตรวจสอบว่ารายการ บวก หรือ คูณ ก่อนตั้งชื่อ $2, 4, 6, 8$ (บวก 2) เป็น ลำดับเลขคณิต, แต่ $2, 4, 8, 16$ (คูณ 2) เป็น ลำดับเรขาคณิต — สองพจน์แรกดูเหมือนเหมือนกัน ดังนั้นต้องทดสอบพจน์ที่สามเสมอ
หาพจน์ที่ 6 ของ $4, 12, 36, \dots$
- อัตราส่วน: $12 \div 4 = 3$, ดังนั้นนี่คือลำดับเรขาคณิตที่มี $r = 3$
- กฎแบบชัดแจ้ง: $a_n = 4 \cdot 3^{\,n-1}$
- พจน์ที่หก: $a_6 = 4 \cdot 3^5 = 4 \cdot 243 = 972$
ลำดับเลขคณิต บวกด้วย ส่วนต่างร่วม; ลำดับเรขาคณิต คูณด้วย อัตราส่วนร่วม. เขียนได้ทั้งแบบ using an explicit rule (jump to any term) or a recursive rule (build from the previous term). Geometric growth eventually overtakes arithmetic.