ฟังก์ชันพหุนามและรู
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| hole/həʊl/ | รู |
| factor/ˈfæktə/ | ตัวประกอบ |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | ตัวเศษ |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | ตัวส่วน |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | ความไม่ต่อเนื่องที่แก้ไขได้ |
| domain/dəˈmeɪn/ | โดเมน |
จุดที่หายไปเพียงจุดเดียว
- กราฟของฟังก์ชันพหุนามหลายส่วนใหญ่จะแตกหักอย่างรุนแรงที่เส้น asymptote ในแนวตั้ง
- แต่บางครั้งกราฟเป็นเส้นตรงหรือโค้งธรรมดาๆ — มีเพียง หนึ่งจุด ที่ขาดหายไป
- ช่องว่างเล็กๆ นี้เรียกว่า รู (hole) และมักมองข้ามได้ง่าย
- มันเกิดขึ้นจากเหตุผลทางพีชคณิตที่เฉพาะเจาะจงมาก
แหล่งกำเนิดของรู
- รู จะเกิดขึ้นเมื่อมี ปัจจัย ถูกตัดออกจากทั้ง ตัวเศษ และ ตัวส่วน
- ตัวอย่างเช่น $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)}$: $(x-1)$ ถูกตัดออก เหลือไว้แต่ $x+2$.
- กราฟที่ลดรูปแล้วคือเส้นตรงที่เรียบลื่น $y = x + 2$.
- แต่ที่ $x = 1$ เศษส่วน ดั้งเดิม คือ $\frac{0}{0}$ — ไม่มีความหมาย — ดังนั้นจึงขาดจุดหนึ่งไป
รู บนกราฟฟังก์ชันพหุนามปรากฏที่…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตัวประกอบร่วมบนและล่างตัดกัน ทำให้กราฟที่ลดรูปแล้วเรียบเนียน — แต่ค่าดั้งเดิมยังคงถูกตัดออก เหลือไว้เป็นรู
รู เปรียบเทียบกับเส้น asymptote ในแนวตั้ง
- ทั้งสองเกิดจากจุดศูนย์ของ ตัวส่วน แต่มีพฤติกรรมตรงกันข้ามกัน
- ตัดกับ ตัวเศษ → ความไม่ต่อเนื่องที่แก้ไขได้: รู
- ไม่ตัด → เส้น asymptote ในแนวตั้งที่กราฟพุ่งออกไป
- ดังนั้นควรแยกตัวประกอบและลดรูปก่อนเสมอ แล้วดูว่าจุดศูนย์ไหนถูกตัดออก
ฟังก์ชันที่ลดรูปแล้วเป็นเพียงเส้นตรง — โดยมีการลบจุดหนึ่งออก
y = ax + b
นี่คือรูปแบบที่ลดรูปแล้วของ (x²−1)/(x−1) กราฟคือเส้น y = x + 1 แต่ฟังก์ชันจริงมีรูที่ x = 1 ซึ่งเป็นตำแหน่งที่ฟังก์ชันเดิมไม่มีค่า
อะไร membedakan รู จาก เส้นแนวดิ่งที่ลู่เข้า?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตัวประกอบที่ถูกตัด → รู ที่สามารถกำจัดได้; ส่วนที่เป็นศูนย์ที่คงอยู่ → เส้นแนวดิ่งที่ลู่เข้าซึ่งค่าพุ่งไปหาอนันต์
เพื่อหาพิกัดของรู ให้ตัดตัวประกอบร่วมออก แล้วแทนค่าใน ____ ฟังก์ชันที่ค่าที่ถูกตัดออกนั้น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันที่ลดรูปแล้วให้ค่า y ที่กราฟ จะมี ที่นั่น — นั่นคือระดับความสูงของรู
การหาพิกัดของรู
- ตัดปัจจัยร่วมออกเพื่อให้ได้ฟังก์ชันที่ลดรูปแล้ว
- แทนค่า x ที่ไม่ได้รับอนุญาตลงในฟังก์ชัน ที่ลดรูปแล้ว นั้นเพื่อหาค่า y
- สำหรับ $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ ที่ $x = 1$: ฟังก์ชันลดรูปคือ $x+2$ ซึ่งให้ค่า $y = 3$
- ดังนั้นรูจะอยู่ที่ $(1, 3)$ — ซึ่งเป็นจุดที่กราฟ "ควร" จะผ่านเข้าไป
แม้ตัวประกอบจะถูกตัดแล้ว ค่า x ของรูก็ยังคงถูกตัดออกจากโดเมน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันดั้งเดิมไม่เคยมีค่าที่นั่น การตัดในพีชคณิตจึงไม่เพิ่มจุดกลับเข้าไป — โดเมนยังมีช่องว่างอยู่
เลือก ทุก ข้อความที่ถูกต้องเกี่ยวกับรู
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
รูไม่ได้ทำให้ฟังก์ชันพุ่งไปหาอนันต์ — นั้นคือเส้นแนวดิ่งที่ลู่เข้า สามข้อที่เหลือถูกต้อง
ยังคงไม่อยู่ในโดเมน
- การตัดออกเป็นการทำพีชคณิต มันไม่ได้คืนค่า input ที่หายไปกลับคืนมา
- ฟังก์ชันดั้งเดิมไม่มีความหมายที่ x นั้น ดังนั้นมันจึงยังคงไม่อยู่ใน โดเมน
- สูตรที่ลดรูปแล้วสอดคล้องกับฟังก์ชันดั้งเดิม ทุกที่ยกเว้น จุดนั้นเท่านั้น
- นั่นคือความหมายของ "แก้ไขได้": คุณสามารถปิดช่องว่างจุดเดียวได้ แต่มันเคยมีอยู่จริง
การลด $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ ให้เหลือ $x+2$ นั้นใช้ได้เฉพาะสำหรับ $x \neq 1$ เท่านั้น อย่าละเว้นข้อจำกัด —-expression ทั้งสองเท่ากัน ทุกที่ยกเว้น ที่รู และการลืมสิ่งนี้จะทำให้สูญเสียจุดหนึ่งออกจากโดเมน
ระบุรูใดๆ ของ $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$
- แยกตัวประกอบด้านบน: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$ และตัด $(x-2)$ → ลดรูปเป็น $x + 2$
- ค่าที่ไม่ได้รับอนุญาต $x = 2$; ค่าที่ลดรูปแล้วที่นั่นคือ $2 + 2 = 4$
- ดังนั้นจะมีรูอยู่ที่ $(2, 4)$ และไม่มีเส้น asymptote ในแนวตั้ง
รู คือ ความไม่ต่อเนื่องที่แก้ไขได้: ปัจจัย ที่ถูกตัดออกจากทั้ง ตัวเศษ และ ตัวส่วน หาได้โดยการลดรูปและประเมินค่าที่ค่า x ที่ไม่ได้รับอนุญาต ค่า x ยังคงไม่อยู่ใน โดเมน — การตัดออกช่วยซ่อมแซมกราฟแต่ไม่เคยเพิ่มจุดนั้นกลับคืนมา