ฟังก์ชันเศษส่วนและศูนย์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันตรรกยะ |
| zeros/ˈzɪərəʊz/ | จุดศูนย์ |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | ตัวเศษ |
| domain/dəˈmeɪn/ | โดเมน |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | ตัวส่วน |
เศษส่วนจะเป็นศูนย์ได้เมื่อไหร่?
- คิดถึง $\frac{0}{5}$, $\frac{5}{5}$ และ $\frac{5}{0}$: มีเพียงค่าแรกที่เป็นศูนย์
- เศษส่วนจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ ตัวเศษ เป็นศูนย์เท่านั้น — ตัวส่วนไม่สามารถเป็นศูนย์ได้ด้วย
- ฟังก์ชันเศษส่วนปฏิบัติตามกฎพื้นฐานเดียวกันนี้
- ดังนั้นการหาจุดศูนย์ของฟังก์ชันเหล่านี้จึงเป็นการมองหาเฉพาะตัวเศษเท่านั้น
จุดศูนย์มาจากตัวเศษ
- ฟังก์ชันเศษส่วน จะมีค่า $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$ เมื่อ...
- จุดศูนย์ ของมันคือค่าอินพุตที่ทำให้ค่าทั้งหมดเป็น $0$
- สิ่งนี้จะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ ตัวเศษ มีค่าเท่ากับ $0$ เท่านั้น
- ดังนั้นให้ตั้งให้ตัวเศษเท่ากับศูนย์แล้วแก้สมการ — นี่คือจุดตัดแกน x ที่อาจเป็นไปได้
เศษส่วนจะเท่ากับ ศูนย์ ก็ต่อเมื่อ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เศษส่วนจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อด้านบนเป็นศูนย์เท่านั้น (และด้านล่างไม่ใช่) $\frac{0}{5} = 0$, แต่ $\frac{5}{0}$ ไม่กำหนดค่า
…แต่ต้องเป็นค่าที่ยอมรับได้
- คำเสนอจุดศูนย์จะนับได้ก็ต่อเมื่อค่านั้นอยู่ใน โดเมน ของฟังก์ชัน
- หากคานั้นทำให้ ตัวส่วน เป็นศูนย์ด้วย ฟังก์ชันจะไม่มีค่าที่จุดนั้น — ไม่มีจุดศูนย์
- ดังนั้นให้ตรวจสอบแต่ละจุดศูนย์ของตัวเศษกับตัวส่วนก่อนความเชื่อมั่น
มันตัดตรงไหน, และมันแตกตรงไหน?
y = a/(x − b) + c
curve ตัดแกนนอนที่ศูนย์ของมัน แตกที่ x = b เมื่อตัวส่วนเป็นศูนย์ Those are two different places.
ศูนย์ของตัวเศษเป็นศูนย์จริงของฟังก์ชันก็ต่อเมื่อนั้นอยู่ใน ____ ของฟังก์ชัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หากค่าใดทำให้ทั้งบนและล่างเป็นศูนย์ มันไม่อยู่ใน โดเมน ดังนั้นมันจึงเป็นรู ไม่ใช่ศูนย์
ค่าที่ไม่อยู่ในโดเมนไม่ใช่จุดศูนย์
- ค่าที่ทำให้ตัวเศษเป็นศูนย์เพียงอย่างเดียวจะถูก ตัดออก จากโดเมน
- ที่จุดนั้นฟังก์ชันไม่มีค่า — มันสร้างเส้นตั้งจำกัดหรือรูพรุน ไม่ใช่จุดศูนย์
- ห้ามเรียกค่าที่ไม่อยู่ในโดเมนว่าจุดตัดแกน x เด็ดขาด
- ศูนย์บนตัวเศษ → จุดศูนย์ของฟังก์ชัน; ศูนย์บนตัวส่วน → ปัญหา ไม่ใช่จุดศูนย์
ค่าที่ทำให้ ตัวส่วน เป็นศูนย์คือศูนย์ของฟังก์ชัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตัวส่วนเป็นศูนย์ ถูกตัดออก จากโดเมน — ฟังก์ชันไม่กำหนดค่าที่นั่น ไม่ใช่ศูนย์
ตรวจสอบโดยการแทนค่า
- เพื่อยืนยันจุดศูนย์ ให้แทนค่าลงในฟังก์ชันและตรวจสอบว่าฟังก์ชันให้ผลลัพธ์เป็น $0$ จริงๆ
- $f(x) = \frac{x-4}{x+1}$ ที่ $x = 4$: ผลลัพธ์คือ $\frac{0}{5} = 0$. ใช่ — $x = 4$ เป็นจุดศูนย์
- ทดสอบเดียวกันนี้จะปฏิเสธค่าที่ไม่อยู่ในโดเมน เพราะคุณจะได้ทำการหารด้วยศูนย์
- การแทนค่าคือการตรวจสอบขั้นสุดท้ายที่เชื่อถือได้
$f(x) = \dfrac{(x-3)(x+2)}{x^2+1}$ มีศูนย์กี่ตัว?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ตัวเศษเป็นศูนย์ที่ $x = 3$ และ $x = -2$; ตัวส่วน $x^2+1$ ไม่เคยเป็นศูนย์ ดังนั้นทั้งสองจึงถูกต้อง — $2$ ศูนย์
เลือก ทุก ประโยคที่ถูกต้องเกี่ยวกับศูนย์ของฟังก์ชันเศษส่วน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ตัวส่วนเป็นศูนย์ ถูกตัดออก, ไม่ใช่จุดตัดแกน x สามข้อที่เหลือถูกต้อง
อย่าสับสนระหว่างจุดศูนย์ของ ตัวเศษ (เป็นจุดศูนย์จริง จุดตัดแกน x) กับจุดศูนย์ของ ตัวส่วน (ค่าที่ไม่อยู่ในโดเมน) ทั้งสองสิ่งตรงกันข้าม: อย่างหนึ่งคือตำแหน่งที่กราฟ สัมผัส แกน อีกอย่างคือตำแหน่งที่กราฟ แตกหัก
หาจุดศูนย์ของ $f(x) = \dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}$
- คำเสนอจุดศูนย์ของตัวเศษ: $x = 2$ และ $x = -3$
- แต่ $x = 2$ ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ด้วย ดังนั้นจึงถูก ตัดออก — เป็นรูพรุน ไม่ใช่จุดศูนย์
- เฉพาะ $x = -3$ เท่านั้นที่เป็นจุดศูนย์จริงของฟังก์ชัน
จุดศูนย์ ของ ฟังก์ชันเศษส่วน คือจุดศูนย์ของ ตัวเศษ ที่อยู่ใน โดเมน ค่าที่ทำให้ ตัวส่วน เป็นศูนย์จะถูกตัดออก ไม่ใช่จุดศูนย์ ต้องตรวจสอบจุดศูนย์ของตัวเศษกับตัวส่วนเสมอ และยืนยันด้วยการแทนค่า