ฟังก์ชันเศษส่วนและพฤติกรรมที่ปลาย
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันตรรกยะ |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | ตัวเศษ |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | ตัวส่วน |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | เส้นกำกับแนวนอน |
| slant asymptote/slænt ˈæsɪmptəʊt/ | เส้นเฉียง |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | เส้นกำกับ |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | การหารยาวของพหุนาม |
A tug-of-war between top and bottom
- เศษเช่น $\frac{2x^2}{x^2+1}$ จะมีพหุนามดึงจากด้านบนและอีกพหุนามดึงจากด้านล่าง
- เมื่ออยู่ห่างจากจุดกำเนิด ตัวใดเติบโตเร็วกว่าจะกำหนดว่าค่าจะ落脚点อยู่ที่ไหน
- ผลลัพธ์ที่ได้มักจะเป็นเส้นตรงแบนราบที่กราฟโอบกอดแต่ไม่เคยสัมผัสจริงๆ
- การอ่านค่าเส้นตรงนี้คือวิธีการอธิบายพฤติกรรมที่ปลายของฟังก์ชันเศษส่วน
What a rational function is
- ฟังก์ชันเศษส่วน คือพหุนามหนึ่งหารด้วยอีกพหุนามหนึ่ง: $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$
- ตัวเศษ คือด้านบน; ตัวส่วน คือด้านล่าง
- พฤติกรรมที่ปลายของมันเป็นการแข่งขันระหว่างดีกรีทั้งสอง
- เปรียบเทียบกำลังสูงสุดของตัวเศษและตัวส่วน — สิ่งนี้เพียงอย่างเดียวที่กำหนดที่ปลาย
Compare the degrees
- ส่วนอยู่ล่างมากกว่า: เศษส่วนจะหดตัวเข้าหา $0$ ดังนั้น $y = 0$ จึงเป็น เส้นประขอบแนวนอน
- ดีกรีเท่ากัน: ท้ายของกราฟจะเข้าใกล้ค่าอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์หน้าสุด
- ส่วนอยู่สูงมากกว่าหนึ่งดีกรี: ท้ายของกราฟจะตามแนว เส้นประขอบเฉียง (เส้นตรงที่เอียง)
- ส่วนอยู่สูงมากกว่านั้น: ไม่มีเส้นประขอบ — ค่าจะเพิ่มขึ้นแบบพหุนาม
เลื่อนเส้นสมการแนวนอนขึ้นและลง
y = a/(x − b) + c
เปลี่ยน c แล้วทั้ง curve จะราบเรียบที่ความสูงใหม่ y = c ทางไกล — เส้นแนวนอนนั้นคือพฤติกรรมที่ปลาย
หาก ตัวส่วน มีดีกรีมากกว่าตัวเศษ พฤติกรรมที่ปลายจะเข้าใกล้…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฐานที่ใหญ่กว่าชนะหัว ทำให้เศษส่วนหดตัวเข้าหา $0$: แกนนอนเป็นเส้นสมการแนวนอน
หากตัวเศษและตัวส่วนมี ดีกรีเท่ากัน เส้นสมการแนวนอนคือ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สำหรับ $\frac{3x^2+\dots}{x^2+\dots}$ ปลายจะเข้าหา $y = 3/1 = 3$ — อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำ
The horizontal or slant line
- เส้นประขอบ คือเส้นที่กราฟเข้าใกล้แต่ไม่ตัดผ่านเมื่อออกไปไกล
- ดีกรีเท่ากัน → เส้นประขอบแนวนอนที่ระดับไม่เท่ากับศูนย์; ส่วนล่างชนะ → เส้นประขอบแนวนอนที่ $y = 0$
- ดีกรีส่วนบนมากกว่าส่วนล่างหนึ่งดีกรี → จะมีเส้นประขอบเฉียงแทนที่จะเป็นเส้นประขอบแนวนอน
- ในทั้งสองกรณี ท้ายของกราฟจะตั้งอยู่บนเส้นนั้น
เมื่อดีกรีของตัวเศษมากกว่าตัวส่วนพอดี หนึ่งขั้น กราฟจะมี ____ สมการ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พฤติกรรมที่ปลายตามเส้นเฉียง — สมการเฉียง — ซึ่งการหารยาวของพหุนามเปิดเผยออกมา
ผลลัพธ์พฤติกรรมที่ปลายใดที่เป็นไปได้สำหรับฟังก์ชันเศษส่วน?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันเศษส่วนอาจมีเส้นสมการแนวนอน, เส้นสมการเฉียง, หรือไม่มีเลย — แต่ไม่เคยมีสองอย่างพร้อมกันที่ปลายเดียวกัน
Long division makes it obvious
- Polynomial long division rewrites $\frac{\text{top}}{\text{bottom}}$ as quotient $+$ remainder/bottom.
- เมื่อออกไปไกล พจน์เศษจะหายไป เหลือเพียงผลหารเท่านั้น
- หากผลหารเป็นตัวเลข นั่นคือเส้นประขอบแนวนอน; หากเป็นเส้นตรง นั่นคือเส้นประขอบเฉียง
- Limits say the same thing: $\lim_{x\to\infty} f(x)$ equals that quotient.
การหารยาวของพหุนามสามารถเขียนฟังก์ชันเศษส่วนใหม่เพื่อเผยพฤติกรรม asimptotic ของมัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การหารให้ผลลัพธ์เป็น "ผลหาร + เศษ/ตัวส่วน"; ผลหารคือเส้นหรือcurve ที่ปลายทั้งสองติดตาม
มีเพียง พจน์นำหน้า ของตัวเศษและตัวส่วนเท่านั้นที่ควบคุมพฤติกรรมปลายกราฟ — พจน์อื่นๆ ที่มีค่าน้อยกว่าจะหายไปเมื่ออยู่ห่างจากจุดกำเนิด ดังนั้นให้เปรียบเทียบดีกรีของพจน์นำหน้าก่อน อย่าหลงสนใจค่าคงที่หรือพจน์ตรงกลาง
หาพฤติกรรมปลายของ $f(x) = \dfrac{3x^2 - 5}{x^2 + 4}$
- ตัวเศษและตัวส่วนมีดีกรีเท่ากันคือ $2$ — เกิดการเสมอในดีกรี
- เส้นแนวนอนจำกัดคืออัตราส่วนของสัมประสิทธิ์พจน์นำหน้า: $y = \frac{3}{1} = 3$
- ดังนั้น $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 3$: กราฟจะแบนราบเข้าใกล้เส้น $y = 3$
สำหรับ ฟังก์ชันเศษส่วน ให้เปรียบเทียบดีกรีของ ตัวเศษ และ ตัวส่วน: ถ้าตัวส่วนใหญ่กว่า → เส้นแนวนอนจำกัด $y = 0$; เท่ากัน → เส้นแนวนอนจำกัดที่อัตราส่วนของสัมประสิทธิ์พจน์นำหน้า; ตัวเศษใหญ่กว่าหนึ่งดีกรี → เส้นเฉียงจำกัด การหารยาวของพหุนาม (Polynomial long division) จะเผยให้เห็นเส้นที่ปลายกราฟวิ่งตาม