ฟังก์ชันพหุนามและพฤติกรรมที่ปลาย
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| end behavior/end bɪˈheɪvjə/ | พฤติกรรมปลาย |
| degree/dɪˈɡriː/ | ดีกรี |
| leading coefficient/ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | สัมประสิทธิ์นำ |
| leading term/ˈliːdɪŋ tɜːm/ | พจน์นำ |
会发生什么far out at the edges?
- ใกล้จุดกึ่งกลาง ฟังก์ชันพหุนามสามารถผันขึ้นลงได้อย่างซับซ้อน
- แต่เมื่อซูมออกไปทางซ้ายและทางขวาไกลๆ เรื่องราวของมันจะกลายเป็นเรื่องง่าย
- ฟังก์ชันพหุนามทุกชนิดจะพุ่งออกสู่ $+\infty$ หรือ $-\infty$ ที่ปลายแต่ละด้านในที่สุด
- แค่ข้อเท็จจริงเพียงสองข้อเกี่ยวกับกฎนี้ก็กำหนดทิศทางของแต่ละปลายได้
End behavior, in words
- พฤติกรรมของปลาย (End behavior) คือสิ่งที่ค่าผลลัพธ์เป็นไปเมื่อค่าอินพุตวิ่งออกไปทางแต่ละด้าน
- ปลายซ้าย: เกิดอะไรขึ้นเมื่อ $x \to -\infty$. ปลายขวา: เกิดอะไรขึ้นเมื่อ $x \to +\infty$.
- แต่ละปลายสามารถทำได้อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น: เต้นขึ้น toward $+\infty$ หรือตกลง toward $-\infty$.
- ดังนั้นจึงมี "รูปร่างของปลาย" ที่เป็นไปได้เพียงสี่รูปแบบสำหรับพหุนามใดๆ
พฤติกรรมที่ปลาย อธิบายสิ่งที่เกิดขึ้นกับ $f(x)$ เมื่อ $x \to +\infty$ และ $x \to -\infty$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ถูกเป๊ะ — นั่นคือพฤติกรรมเมื่ออยู่ไกลออกไปที่ปลายสุดทั้งสองของแกนนอน
Degree and leading coefficient decide it
- ดีกรี (คู่หรือคี่) ตัดสินว่าทั้งสองปลายจะชี้ไปในทิศทางเดียวกันหรือตรงข้ามกัน
- ดีกรีคู่ → ทั้งสองปลายชี้ในทิศทาง เดียวกัน ดีกรีคี่ → ปลายชี้ในทิศทาง ตรงข้าม กัน
- สัมประสิทธิ์นำ (เครื่องหมายของมัน) จากนั้นจะตัดสินว่าชี้ขึ้นหรือลง
- สัมประสิทธิ์บวก → ปลายขวาพุ่งขึ้น; สัมประสิทธิ์ลบ → ปลายขวาพุ่งลง
พลิกสัมประสิทธิ์นำแล้วดูว่าปลายทั้งสองเปลี่ยนทิศทางอย่างไร
y = ax³ + bx² + cx + d
นี่คือcurveที่มีดีกรีอเนก ดังนั้นปลายทั้งสองชี้ไปคนละทาง หากทำให้เป็นลบ ปลายทั้งสองจะสลับทิศทาง
พหุนาม ดีกรีอเนก ที่มี สัมประสิทธิ์นำเป็นบวก …
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ดีกรีอเนกทำให้ปลายชี้ไป คนละ ทิศทาง; สัมประสิทธิ์นำเป็นบวกส่งปลายด้านขวาขึ้นไป (ดังนั้นปลายด้านซ้ายจึงลง)
พหุนาม ดีกรีคู่ ที่มี สัมประสิทธิ์นำเป็นลบ …
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ดีกรีคู่ทำให้ปลายชี้ไปใน ทิศทางเดียวกัน; สัมประสิทธิ์นำเป็นลบส่งทั้งสองปลายลง
คุณลักษณะใดกำหนดพฤติกรรมที่ปลายของพหุนาม?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
มีเพียงดีกรีและเครื่องหมายของสัมประสิทธิ์นำที่สำคัญต่อปลาย; ค่าคงตัวและจำนวนพจน์ไม่สำคัญ
จับคู่แต่ละประเภทของพหุนามกับพฤติกรรมที่ปลายของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ดีกรีอเนก → ปลายตรงข้าม; ดีกรีคู่ → ปลายเหมือนกัน เครื่องหมายของสัมประสิทธิ์นำจะเลือกให้ขึ้นหรือลง
Writing it with limits
- Mathematicians record end behavior with limit notation.
- "The right end rises" is written $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$.
- "The left end falls" is written $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.
- เป็นวิธีเขียนแบบกระชับเพื่อระบุตำแหน่งที่แน่นอนว่าแต่ละปลายจะไปทางไหน
Why the leading term wins
- เมื่อห่างจากจุดกำเนิด พจน์ที่มีกำลังสูงสุดจะเติบโตเร็วกว่าพจน์อื่นๆ มาก
- ใน $x^3 - 100x$, ที่ $x = 1000$ ค่า $x^3$ เป็นพันล้าน ในขณะที่ $100x$ มีเพียงแสน
- ดังนั้น พจน์นำ เพียงพจน์เดียวที่ควบคุมพฤติกรรมของปลาย — ส่วนที่เหลือกลายเป็นเสียงรบกวน
- นั่นคือเหตุผลที่คุณไม่จำเป็นต้องใช้พจน์เล็กๆ เพื่อวาดภาพปลาย
สำหรับอินพุตที่มีขนาดมาก พจน์ ____ จะครอบงำค่าของพหุนาม
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พจน์ที่มีกำลังสูงสุด (สัมประสิทธิ์นำ) เติบโตเร็วที่สุด จึงกลบพจน์อื่นๆ ทั้งหมดเมื่ออยู่ไกลจากจุดกำเนิด
พฤติกรรมของปลายขึ้นอยู่กับ ดีกรี และ เครื่องหมายของสัมประสิทธิ์นำ เท่านั้น — ไม่เคยขึ้นอยู่กับค่าคงที่หรือจำนวนพจน์เลย พหุนามดีกรี-5 และ $x^5$ มีพฤติกรรมปลายที่เหมือนกันเสมอ ไม่ว่าส่วนกลางจะยุ่งเหยิงแค่ไหน
Describe the ends of $f(x) = -2x^4 + x^3 + 5$.
- ดีกรี $4$ เป็น คู่ → ทั้งสองปลายชี้ไปในทิศทางเดียวกัน
- Leading coefficient $-2$ is negative → both ends point down.
- So $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\infty$: the graph falls on both sides.
พฤติกรรมของปลาย ถูกกำหนดโดยสองสิ่ง: ดีกรี (คู่ → ปลายจับคู่กัน, คี่ → ปลายตรงข้ามกัน) และ เครื่องหมายของสัมประสิทธิ์นำ (ขึ้นหรือลง) เมื่ออยู่ไกลออกไป พจน์นำ จะครอบงำทุกพจน์อื่น ดังนั้นข้อเท็จจริงเพียงสองข้อนี้อาจสำคัญที่สุด