ฟังก์ชันพหุนามและรากเชิงซ้อน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| degree/dɪˈɡriː/ | ดีกรี |
| real zeros/rɪəl ˈzɪərəʊz/ | ศูนย์จริง |
| multiplicity/ˌmʌltɪˈplɪsɪti/ | ความซ้ำซ้อน |
| factored form/ˈfæktəd fɔːm/ | รูปผลคูณ |
| complex zeros/ˈkɒmpleks ˈzɪərəʊz/ | ศูนย์เชิงซ้อน |
| conjugate pairs/ˈkɒndʒuːɡeɪt peəz/ | คู่สังยุค |
รากอื่นๆ ไปอยู่ที่ไหน?
- กราฟของ $y = x^2 + 1$ เป็นพาราโบลาลอยอยู่เหนือแกน x ทั้งหมด
- มันไม่ตัดเลย จึงดูเหมือนว่าไม่มีคำตอบสำหรับ $x^2 + 1 = 0$
- แต่พีชคณิตยืนยันว่าสมการดีกรี-2 ควรจะมีรากสองราก
- รากที่หายไปซ่อนอยู่ในจำนวนเชิงซ้อน
รากจริงและมัลติพลิกิตี้
- รากจริงของพอลิโนมิאלคือค่า x ที่กราฟตัดหรือสัมผัสกับแกน x
- อ่านได้จากรูปผลคูณ: $(x-2)(x+3)$ มีรากที่ $2$ และ $-3$
- พจน์ซ้ำอย่าง $(x-2)^2$ ให้รากที่มีมัลติพลิกิตี้สอง
- มัลติพลิกิตี้คู่ → กราฟสัมผัสแล้วเด้ง; มัลติพลิกิตี้คี่ → มันตัด
รากที่กราฟเพียงแต่ สัมผัส แกน x (แทนที่จะตัด) จะมี multiplicity Even
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความซ้ำซ้อน Even (เช่น $(x-3)^2$) ทำให้โค้งดีดออกจากแกน；奇数重数使其穿过
เมื่อกราฟไม่ตัดแกน
- บางพอลิโนมิאלไม่เคย触及แกน x ดังนั้นจึงมีรากจริงน้อยกว่าดีกรี
- รากที่"หายไป"คือรากเชิงซ้อน — ค่าที่สร้างด้วย $i = \sqrt{-1}$
- พวกมันสมจริงเท่ากันในฐานะคำตอบ; เพียงแต่ไม่ปรากฏเป็นจุดตัดแกน x
พาราโบลาที่ไม่เคยตัดแกน x มี real zeros จริงกี่ตัว?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ไม่มีจุดตัดแกน x หมายความว่าไม่มีรากจริง แต่ยังมี สอง ราก —它们是复数
รากเชิงซ้อนเดินทางเป็นคู่
- หากพอลิโนมิאלมีสัมประสิทธิ์จริงและ $a + bi$ เป็นราก แล้ว $a - bi$ ก็เป็นรากเช่นกัน
- คู่สะท้อนภาพนี้เรียกว่าคู่สังยุค
- นั่นคือเหตุผลที่รากเชิงซ้อน Always arrive สองต่อสอง — ไม่เคยมาคนเดียว
- ดังนั้นพอลิโนมิאלจริงอาจมี $0, 2, 4, \dots$ รากเชิงซ้อน แต่ไม่มีวันเป็นจำนวนคี่
รากเชิงซ้อนคู่สมมาตร
พล็อตราก a + bi สำหรับพหุนามจริง คู่สมมาตร a − bi (ภาพสะท้อนผ่านแกนจริง) ต้องเป็นรากเช่นกัน
สำหรับพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริง รากเชิงซ้อนมาพร้อมกันเป็น คู่สมมาตร เสมอ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ถ้า $a + bi$ เป็นราก แล้ว $a - bi$ ต้องเป็นรากด้วย นั่นคือเหตุผลที่รากเชิงซ้อนปรากฏเป็นคู่
นับรากทั้งหมด
- พอลิโนมิאלดีกรี $n$ มีrากเป๊ะ $n$ ราก เมื่อคุณนับรากจริงและรากเชิงซ้อนพร้อมมัลติพลิกิตี้
- นี่คือทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต และมันไม่ล้มเหลวเด็ดขาด
- ดังนั้นพหุนามดีกรีสามจะมี $3$ รากเสมอ; พหุนามดีกรีสี่จะมี $4$
- หากคุณเห็นจุดตัดแกน x น้อยกว่า ดีกรี ส่วนที่เหลือจะเป็นจำนวนเชิงซ้อน
นับด้วยความซ้ำซ้อน พหุนาม ดีกรี 4 มีรากทั้งหมดกี่ตัว?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
พหุนามดีกรี-$n$ มีรากทั้งหมด $n$ ตัว นับทั้งจริงและเชิงซ้อนด้วยความซ้ำซ้อน
ฟังก์ชันกำลังสาม (ดีกรี 3) มีรากจริง 1 ตัวพอดี มันต้องมีรากเชิงซ้อน (ไม่ใช่จริง) กี่ตัว?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
รากทั้งหมด $= 3$。与 $1$ 实根相比，其余 $2$ 为共轭复数对
เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
การขาดจุดตัดแกน x ไม่ ลดจำนวนศูนย์ — ศูนย์ที่หายไปเป็นจำนวนเชิงซ้อน ส่วนข้ออื่นทั้งหมดเป็นจริง
การที่จุดตัดแกน x "หายไป" ไม่ หมายความว่าพหุนามมีรากน้อยลง จำนวนรากทั้งหมดจะเท่ากับดีกรีเสมอ — รากที่ไม่ปรากฏคือจำนวนเชิงซ้อนเท่านั้น อย่าระบุว่าพหุนามดีกรีสี่มี "สองราก" เพียงเพราะคุณเห็นจุดตัดแกน x สองจุด
แก้ $x^2 + 1 = 0$
- จัดรูปใหม่ได้: $x^2 = -1$, ดังนั้น $x = \pm\sqrt{-1} = \pm i$
- รากทั้งสองคือ $i$ และ $-i$ — คู่สมนัย ตามที่สัญญาไว้
- แพรบ.display $y = x^2 + 1$ ลอยอยู่เหนือแกน เพราะไม่มีรากใดเป็นจำนวนจริง
รากจริง คือจุดตัดแกน x โดย ความซ้ำ (even/odd) จะกำหนดว่ากราฟสัมผัสหรือตัดแกน ส่วนรากที่เหลือเป็น รากเชิงซ้อน ซึ่งเกิดเป็น คู่สมนัย เมื่อนับด้วยค่าความซ้ำ จำนวนรากทั้งหมดจะเท่ากับ ดีกรี เสมอ