ฟังก์ชันพหุนามและอัตราการเปลี่ยนแปลง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| degree/dɪˈɡriː/ | ดีกรี |
| leading term/ˈliːdɪŋ tɜːm/ | พจน์นำ |
| polynomial function/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันพหุนาม |
| local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/ | ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ |
| local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/ | ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ |
| point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | จุดเปลี่ยนความโค้ง |
| concavity/kənˈkævɪti/ | ความโค้งเว้า |
กราฟสามารถมีจุดเปลี่ยนทิศทางได้กี่จุด?
- เส้นตรงเป็นเส้นตรง; พาราโบลามีจุดโค้งหนึ่ง; แต่บางกราฟอาจขึ้นและลงหลายครั้ง
- อะไรกำหนดว่ากราฟจะมียอดเขาและหุบเขาได้กี่จุด?
- คำตอบซ่อนอยู่ในตัวเลขเพียงตัวหนึ่งในกฎของฟังก์ชัน
- พบกับพหุนาม — ฟังก์ชันที่สร้างขึ้นจากกำลังของ $x$
ดีกรีและพจน์นำหน้า
- ฟังก์ชันพอลิโนมิאלคือผลรวมของพจน์ต่างๆ เช่น $3x^4$, $-2x$, และ $7$
- ดีกรีคือเลขชี้กำลังสูงสุดของ $x$ ที่ปรากฏ
- พจน์นำหน้าคือพจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุดนั้น — มันควบคุมกราฟเมื่อ $x$ มีค่ามาก
- ดีกรีคือตัวเลขที่สำคัญที่สุด: มันจำกัดความ "หยัก" ของกราฟได้มากที่สุดเท่าใด
ดีกรี ของพหุนามคือ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ดีกรีคือเลขชี้กำลังสูงสุดบนตัวแปร — เช่น $2x^4 - x + 7$ มีดีกรี $4$ ควบคุมรูปร่างโดยรวมและพฤติกรรมปลายกราฟ
จุดสูงสุดและจุดต่ำสุดในท้องถิ่น
- ติดตามพอลิโนมิאלจากซ้ายไปขวาและทำเครื่องหมายเมื่อมันเปลี่ยนทิศทาง
- จุดสูงสุดในท้องถิ่นคือยอดเขา: จากเพิ่มเป็นลด
- จุดต่ำสุดในท้องถิ่นคือหุบเขา: จากลดเป็นเพิ่ม
- ระหว่างจุดเปลี่ยนเหล่านี้ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างต่อเนื่อง
ปรับรูปร่างของฟังก์ชันกำลังสามนับจุดเปลี่ยนทิศทาง
y = ax³ + bx² + cx + d
ปรับสไลเดอร์ เส้นดีกรี-3 โยกเยกได้สูงสุดสองครั้ง — ลองทำให้มันเปลี่ยนทิศทางสามครั้ง (ทำไม่ได้)
จุดที่กราฟเปลี่ยนจากการลดลงเป็นการเพิ่มขึ้นคือค่า local minimum ท้องถิ่น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่าต่ำสุดท้องถิ่น เป็นร่อง — โค้งหยุดลงและเริ่มขึ้น
จุดเปลี่ยนเว้า
- แม้ระหว่างจุดเปลี่ยนทิศทาง กราฟก็เปลี่ยน วิธี ที่มันโค้งได้
- จุดเปลี่ยนเว้าคือที่ที่ความเว้ากลับด้าน: เหวาเปิดขึ้นกลายเป็นเว้าปิดลง หรือในทางกลับกัน
- ที่จุดเปลี่ยน อัตราการเปลี่ยนแปลงหยุดที่จะเร่งเร็วและเริ่มชะลอตัว (หรือในทางกลับกัน)
- ดังนั้นจึงเป็นจุดที่ชันที่สุดหรือเรียบที่สุดในช่วงที่กราฟขึ้นหรือลง
จุดกลับด้าน คือจุดที่…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ที่จุดกลับด้าน โค้งหยุดโค้งทางหนึ่งแล้วเริ่มโค้งอีกทาง — ลูนขึ้นกลายเป็นลูนลง หรือในทางกลับกัน
ดีกรีจำกัดความหยักของกราฟ
- พอลิโนมิאלดีกรี $n$ มีจุดเปลี่ยนทิศทางได้สูงสุด $n - 1$ จุด
- ยังมีจุดเปลี่ยนเว้าได้สูงสุด $n - 2$ จุด
- ฟังก์ชันลูกบาศก์ (ดีกรี $3$) เปลี่ยนทิศทางได้สูงสุดสองครั้ง; ฟังก์ชันดีกรีสี่ (ดีกรี $4$) เปลี่ยนทิศทางได้สูงสุดสามครั้ง — เหมือนรูปด้านบน
- "สูงสุด" สำคัญ: กราฟอาจมีหยักน้อยกว่านี้ แต่ไม่มีวันมากกว่าที่ดีกรีอนุญาต
พหุนาม ดีกรี 5 สามารถมีจุดเปลี่ยนทิศทางได้สูงสุดกี่จุด?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
พหุนามดีกรี-$n$ มีจุดเปลี่ยนทิศทางได้สูงสุด $n - 1$ ดังนั้นดีกรี $5$ จึง允许的点数是 $4$
พหุนามดีกรี-3 สามารถมีจุดเปลี่ยนทิศทางได้ 3 จุด
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ดีกรี $3$ 允许的点数是 $3 - 1 = 2$。它可以有 $2$ 或没有，但永远不能是 $3$
เลือก ทุก ข้อความที่ถูกต้องเกี่ยวกับกราฟพหุนาม
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันกำลังสามสามารถมี $2$ จุดเปลี่ยนทิศทาง หรือไม่มีเลย (เช่น $y = x^3$) ดังนั้น "ต้องมี 2" จึงผิด ข้อสามข้อที่เหลือถูกต้อง
"สูงสุด" ไม่ใช่ "พอดี" ฟังก์ชันลูกบาศก์อาจมีจุดเปลี่ยนทิศทางสองจุด แต่ $y = x^3$ มีไม่มีเลย — มันเพิ่มขึ้นตลอดทั้งเส้นทาง โดยมีจุดเปลี่ยนเว้าเดียวที่จุดกำเนิด ดีกรีกำหนดเพดาน ไม่ระบุจำนวน
พิจารณา $f(x) = x^3 - 3x$
- ดีกรี $3$ ดังนั้นจุดเปลี่ยนทิศทางได้สูงสุด $2$ จุด — และมีเป๊ะ $2$ จุด: จุดสูงสุดในท้องถิ่นใกล้ $x = -1$ และจุดต่ำสุดในท้องถิ่นใกล้ $x = 1$
- ระหว่างทั้งสอง จุดที่ $x = 0$ ความเว้ากลับด้าน: นั่นคือจุดเปลี่ยนเว้าของมัน
- พจน์นำหน้า $x^3$ ทำให้กราฟลดลงทางซ้ายไกลและเพิ่มขึ้นทางขวาไกล
ดีกรีของ ฟังก์ชันพอลิโนมิאל (เลขชี้กำลังสูงสุด) จำกัดรูปร่าง: เปลี่ยนทิศทางได้สูงสุด $n - 1$ จุด — จุดสูงสุดและจุดต่ำสุดในท้องถิ่น — และมีจุดเปลี่ยนเว้าได้สูงสุด $n - 2$ จุด ซึ่งความเว้ากลับด้าน พจน์นำหน้าควบคุมสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อไกลออกไปทั้งสองด้าน