อัตราการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันเชิงเส้นและฟังก์ชันกำลังสอง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| quadratic function/kwɒˈdrætɪk ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันกำลังสอง |
| linear function/ˈlɪnɪə ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันเชิงเส้น |
| constant/ˈkɒnstənt/ | ค่าคงที่ |
| slope/sləʊp/ | ความชัน |
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย |
การปีนสองรูปแบบ
- ทางเดินไฟฟ้ายกคุณขึ้นด้วยความเร็วคงที่: ทุกวินาทีได้ความสูงเท่าเดิม
- jet บน runway ต่างออกไป: ทุกวินาทีมันได้ ความเร็วมากขึ้น Than previous second
- ทั้งคู่เป็น "เพิ่มขึ้น", แต่ วิธีการ ที่它们เปลี่ยนแปลงต่างกันโดยสิ้นเชิง
- ฟังก์ชันเชิงเส้นและฟังก์ชันกำลังสองคือสมาชิกสองคนแรกของเรื่องราวนี้
ฟังก์ชันเชิงเส้น: Rate คงที่
- ฟังก์ชันเชิงเส้น มีกราฟเป็นเส้นตรง
- ความชัน ของมันเท่าเดิมทุกที่, ดังนั้น Rate เฉลี่ย ของมันจึงเท่าเดิมตลอด ช่วงใด ก็ตาม
- ตลอด $[0, 2]$ หรือ $[10, 12]$ หรือช่วงอื่นๆ — คุณจะได้ตัวเลขเดียวกันเสมอ
- Rate เดียวที่ไม่เปลี่ยนแปลงนี้เองคือสิ่งที่ "เชิงเส้น"really mean
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ ฟังก์ชันเชิงเส้น ตลอดช่วงใดๆ คือ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้นตรงมีความชันคงที่หนึ่งค่า ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยจึงเท่ากันตลอด ทุก ช่วง — นั่นคือสิ่งที่ทำให้มันเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น
ฟังก์ชันกำลังสอง: Rate ที่เปลี่ยนแปลงได้
- ฟังก์ชันกำลังสอง มีกราฟเป็นพาราโบลาโค้ง
- เพราะมันโค้ง, ความชัน จึงต่างกันในตำแหน่งต่างๆ — Rate of change terus berubah
- Near vertex, มันแบนเกือบ; ห่างจาก vertex, มันชัน
- ดังนั้น Rate เฉลี่ยของมันขึ้นอยู่กับ ช่วง ที่คุณเลือก
สไลเดอร์หนึ่งตัวเปลี่ยนพาราโบลาให้เป็นเส้นตรง
y = ax² + bx + c
ตั้ง a = 0 จะได้เส้นตรง — ความชันคงที่ ทำให้ a ≠ 0 แล้วโค้งจะงอ อัตราการเปลี่ยนแปลงจึงเปลี่ยนไปเรื่อยๆ
สำหรับ ฟังก์ชันกำลังสอง อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยจะเท่ากันตลอดทุกช่วง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พาราโบลาโค้งงอ ความชันจึงเปลี่ยนไปเรื่อยๆ ช่วงต่างกันให้ค่าอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยต่างกัน
ก้าวเท่ากันเผยแพทเทิร์น
- Take equal steps in input and list outputs of $y = x^2$: $0, 1, 4, 9, 16$
- The jumps between them — the first differences — are $1, 3, 5, 7$
- Those jumps are not constant, but they grow by the same amount ($2$) every time
- So a quadratic's rate of change is not fixed, yet it changes in a perfectly steady, linear way
สำหรับ $y = x^2$ ผลต่างอันดับแรกที่ $x = 1, 2, 3$ คือ $3, 5, 7$它们每步增长多少常数？
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$5 - 3 = 2$ และ $7 - 5 = 2$。ผลต่างอันดับสองคงที่นี้คือลายนิ้วมือของฟังก์ชันกำลังสอง
สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง การก้าวเท่าๆ กันใน $x$ ให้ผลต่างอันดับแรกที่…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ผลต่างอันดับแรกเองสร้างรูปแบบ เชิงเส้น — เพิ่มด้วยจำนวนเท่าเดิมทุกขั้นตอน (การเพิ่มเป็นสองเท่าทุกครั้งจะเป็นเอกซ์โพเนนเชียล)
Rate เฉลี่ยทุกตัวคือความชันของเส้นประเสก
- Whichever function you have, the average rate of change over $[a, b]$ is the slope of the secant line through its endpoints
- For a line, every secant lies right on top of the graph — same slope every time
- For a parabola, each secant tilts differently — that is the visible sign of a changing rate
- Reading secant slopes is how you compare how two functions change
เรียงลำดับขั้นตอนการหาค่าอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยตลอด $[a, b]$
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
ผลลัพธ์ก่อน แล้วหาผลต่าง之后再除以输入差异——这就是割线斜率
เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันกำลังสอง ไม่ คงที่ — เปลี่ยนไปอย่างสม่ำเสมอ (ผลต่างอันดับสองคงที่) ข้อสามข้อที่เหลือถูกต้อง
อย่าเรียกอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันกำลังสองว่า "คงที่" เพียงเพราะรูปแบบนั้นคาดเดาได้ อัตราการเปลี่ยนแปลงเอง เปลี่ยนแปลงจากช่วงหนึ่งไปยังอีกช่วงหนึ่ง; สิ่งที่คงที่คือ การเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลง สำหรับเส้นตรง การเปลี่ยนแปลงของอัตรา的这个เป็นศูนย์
ลูกบอลที่หล่นตกลงมาเป็นระยะ $d = 5t^2$ เมตร หลังเวลา $t$ วินาที
- ระยะทางที่ $t = 0, 1, 2, 3$: $0, 5, 20, 45$ เมตร
- ผลต่างอันดับแรก (ระยะทางต่อวินาที): $5, 15, 25$ — เพิ่มขึ้นด้วยค่าคงที่ $10$
- ความเร็วของลูกบอลเพิ่มขึ้นแบบเส้นตรงแม้ว่าจะมีระยะทางเป็นฟังก์ชันกำลังสองก็ตาม
ฟังก์ชันเชิงเส้นมีการเปลี่ยนแปลงด้วยอัตราคงที่หนึ่ง —每一条割线都有相同的斜率。 ฟังก์ชันกำลังสองมีการเปลี่ยนแปลงที่ไม่คงที่: ในช่วงเท่ากัน ผลต่างอันดับแรกจะเพิ่มขึ้นด้วยจำนวนคงที่ ทำให้อัตราเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยในช่วง $[a, b]$ คือความชันของเส้นคั่นเสมอ