อัตราการเปลี่ยนแปลง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | อัตราการเปลี่ยนแปลง |
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย |
| interval/ˈɪntəvl/ | ช่วง |
| slope/sləʊp/ | ความชัน |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | เส้นตัด |
| constant/ˈkɒnstənt/ | ค่าคงที่ |
รวดเร็วแค่ไหนกันแน่?
- จอดมิเตอร์รถตอบคำถามที่มิเตอร์วัดระยะทางทำไม่ได้: ไม่ใช่ ว่าวิ่งไกลแค่ไหน แต่เป็น ว่าวิ่งเร็วแค่ไหน ในตอนนี้
- "ค่าผลลัพธ์เปลี่ยนแปลงเร็วเท่าไร?" เป็นคำถามหลักของทั้งรายวิชานี้
- คำตอบคือตัวเลขที่เรียกว่า อัตราการเปลี่ยนแปลง
- บทเรียนนี้วัด它以สองวิธี: ตลอดช่วงเวลาหนึ่ง, และ ณ วินาทีเดียว
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย
- ตลอด ช่วงเวลา จาก $x = a$ ถึง $x = b$, เปรียบเทียบปริมาณการเปลี่ยนแปลงของค่าผลลัพธ์กับปริมาณการเปลี่ยนแปลงของค่าอินพุต
- อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย คือ $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — การเปลี่ยนแปลงของค่าผลลัพธ์หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของค่าอินพุต
- มันเป็น อัตราส่วน ดังนั้นจึงต้องมี หน่วย เสมอ: เมตรต่อวินาที, ดอลลาร์ต่อปี, °C ต่อนาที
- ตัวอย่างด้วยคำพูด: หากอุณหภูมิสูงขึ้น 12°C selama 4 ชั่วโมง อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยคือ 3°C ต่อชั่วโมง
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ของ $f$ บนช่วง $[a, b]$ เท่ากับ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันคือ การเปลี่ยนแปลงของเอาต์พุต หารด้วย การเปลี่ยนแปลงของอินพุต -- เป็นอัตราส่วน ดังนั้นมันจึงมีหน่วยของเอาต์พุตต่อหน่วยของอินพุต
มันคือความชันของเส้นประเสก
- วาดเส้นตรงเชื่อมปลายทั้งสอง $(a, f(a))$ และ $(b, f(b))$: นั่นคือ เส้นประเสก
- ความชัน ของมัน — สูงขึ้นñaด้วยระยะทางแนวนอน — คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย โดยตรง
- เส้นประเสกชันกว่า → เปลี่ยนแปลงเฉลี่ยเร็วขึ้น; เส้นประเสกลาดลง → อัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นลบ
ระยะทางของนักวิ่งคือ $f(t)$ เมตร หาก $f(2) = 10$ และ $f(5) = 40$ ความเร็วเฉลี่ยในช่วง $[2, 5]$ คือ?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ความเร็วเฉลี่ย $= \dfrac{40 - 10}{5 - 2} = \dfrac{30}{3} = 10$ m/s -- ความชันของเส้นประในช่วงนั้น
บนกราฟ, อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยบน $[a, b]$ คือความชันของ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้นประ เชื่อม $(a, f(a))$ และ $(b, f(b))$; ความชันของมันเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยพอดี
อัตรา ณ จุดเดียว
- เส้นประเสกต้องใช้ สอง จุด เพื่อให้ได้RATEณ หนึ่ง จุด ให้縮ช่วงนั้นลง
- หาค่าอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยจากช่วงเล็กๆ越小越靠近จุดนั้น
- เมื่อช่วงเล็กลงจนใกล้ศูนย์, เส้นประเสกเอียงไปเป็น เส้นสัมผัส — ความชันของมันคือRateณจุดนั้นเป๊ะๆ
- "Rate ณ วินาที" นี้คือแนวคิดที่จะพัฒนาต่อไปเป็นแคลคูลัสในปีหน้า
หดช่วงจนกว่าเส้นประ会变成เส้นสัมผัส
f(x) = 0.5x²
ลากจุดเพื่ออ่านความชันที่จุดเดียว -- นี้คือลิมิตของอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยเมื่อช่วงหดเหลือศูนย์
เพื่อประมาณอัตราการเปลี่ยนแปลงที่จุดเดียว ควรใช้ค่าเฉลี่ยบนช่วงที่ ______ มากๆ รอบๆ จุดนั้น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เมื่อช่วงหดเข้าใกล้ศูนย์ ความชันของเส้นประจะเข้าใกล้ความชันที่จุดนั้นพอดี
สัญญาณ, ขนาด, และหน่วย
- บวก หมายความว่าค่าผลลัพธ์กำลังเพิ่มขึ้น; ลบ หมายความว่ากำลังลดลง; ศูนย์ หมายความว่าไม่มีการเปลี่ยนแปลง
- ตัวเลขที่ใหญ่กว่า (ovableเครื่องหมาย) หมายความว่าเปลี่ยนแปลงเร็วขึ้น
- สำหรับเส้นตรง Rate คือเท่าเดิมทุกที่ — มัน คงที่
- ต้องระบุหน่วยเสมอ: Rate ที่ไม่มีหน่วยคือคำตอบที่ขาดครึ่งหนึ่ง
ค่าเฉลี่ย ที่ติดลบหมายความว่าเอาต์พุตลดลงในช่วงนั้น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อัตราส่วนลบหมายความว่าผลลัพธ์สุดท้ายต่ำกว่าจุดเริ่มต้น — ฟังก์ชันลดลง โดยเฉลี่ยตลอดช่วงนั้น
เลือก ทุก ข้อความที่ถูกต้องเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อาจเป็นบวก ลบ หรือศูนย์ สิ่งอื่นๆ ถูกทั้งหมด: เป็นความชัน มีหน่วย และประมาณค่าอัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดในช่วงสั้นๆ
Rate เฉลี่ยเกี่ยวข้องกับ ปลายทั้งสองเท่านั้น —它将忽略中间的任何东西. นักเดินป่าที่ปีนขึ้นแล้วลงกลับมาสู่ระดับเดิมจะมี Rate เฉลี่ยเป็น ศูนย์ แม้ว่าจะเคลื่อนที่ตลอดเวลาก็ตาม
รถยนต์เดินทาง 150 กม. ระหว่าง 1:00 ถึง 3:00 น.
- ความเร็วเฉลี่ย $= \dfrac{150 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 75$ กม./ชม.
- นั่นคือความชันของเส้นประเสกบนกราฟระยะทาง–เวลา ตลอดสองชั่วโมงนั้น
- ความเร็วจริงของรถเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา — 75 กม./ชม. เป็นเพียง ค่าเฉลี่ย
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ตลอด $[a, b]$ คือ $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, ซึ่งคือ ความชัน ของ เส้นประเสก ที่ผ่านปลายทั้งสอง缩小ช่วง toward zero และกลายเป็นRateณจุดเดียว. ต้องระบุหน่วยเสมอ