การเปลี่ยนแปลงแบบต่อเนื่อง
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| input/ˈɪnpʊt/ | ค่าอินพุต |
| output/ˈaʊtpʊt/ | ค่าเอาต์พุต |
| increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/ | เพิ่มขึ้น |
| decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/ | ลดลง |
| constant/ˈkɒnstənt/ | ค่าคงที่ |
| interval/ˈɪntəvl/ | ช่วง |
| concavity/kənˈkævɪti/ | ความโค้งเว้า |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | อัตราการเปลี่ยนแปลง |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | เว้าขึ้น |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | เว้าลง |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | จุดเปลี่ยนทิศทาง |
| local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/ | ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ |
| local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/ | ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ |
ดูน้ำไหลขึ้น
- เทน้ำลงในแก้วในอัตราคงที่ แล้วดูระดับน้ำสูงขึ้น
- ในแก้วตรง ระดับน้ำจะขึ้นอย่างสม่ำเสมอ; ในแจกันโค้ง它会加速或减速 (it speeds up and slows down)
- ปริมาณสองอย่าง — น้ำที่เทลงและความสูง — เปลี่ยนแปลงไปด้วยกัน ในลักษณะสัมพันธ์
- แคลคูลัสเริ่มต้นด้วยการอธิบายอย่างชัดเจนว่า วิธีที่ ปริมาณหนึ่งเปลี่ยนแปลง เมื่ออีกปริมาณหนึ่งเปลี่ยน
ฟังก์ชันเชื่อมโยงอินพุตเข้ากับเอาต์พุต
- ฟังก์ชันรับ อินพุต (ค่าของ $x$) และส่งกลับ เอาต์พุต ที่แน่นอน (เขียนว่า $f(x)$)
- เมื่ออินพุตเปลี่ยน เอาต์พุตก็เปลี่ยนตาม — นั่นคือการเปลี่ยนแปลง ในลักษณะสัมพันธ์
- เราเขียน $f(2)$ เพื่อหมายถึง "เอาต์พุตเมื่ออินพุตเป็น $2$"
- ดังนั้นเรื่องราวทั้งหมดของฟังก์ชันคือคำถามเดียว: เมื่อ $x$ เคลื่อนที่ ไปยังที่ใด $f(x)$ จะไป?
เพิ่มขึ้น ลดลง หรือคงที่
- เลือก ช่วง — ช่วงหนึ่งของแกนอินพุต — แล้วติดตามเอาต์พุตจากซ้ายไปขวา
- ฟังก์ชัน เพิ่มขึ้น เมื่อเอาต์พุต สูงขึ้น ขณะอินพุตเคลื่อนที่ไปทางขวา
- ลดลง เมื่อเอาต์พุต ต่ำลง ขณะอินพุตเคลื่อนที่ไปทางขวา
- คงที่ เมื่อเอาต์พุตอยู่ระดับเดิม
- อ่านได้โดยตรงจากกราฟ: ทางขึ้นคือเพิ่มขึ้น, ทางลงคือลดลง
ฟังก์ชันมีค่า เพิ่มขึ้น บนช่วงใดเมื่อ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การเพิ่มขึ้นเกี่ยวกับ ทิศทาง ไม่ใช่ขนาด: ลากไปทางขวาตามค่าอินพุตแล้วค่าเอาต์พุตจะสูงขึ้น มันสามารถเพิ่มขึ้นได้แม้ค่าของมันจะเป็นลบอยู่ก็ตาม
หากกราฟราบเรียบสนิท (แนวนอน) ตลอดช่วง ฟังก์ชันนั้นจะมีค่า คงที่ ในช่วงนั้น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
กราฟราบแปลว่าค่าเอาต์พุตไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อค่าอินพุตเปลี่ยน -- นั่นคือสิ่งที่คำว่าคงที่หมายถึง
ความเว้า: การเปลี่ยนแปลงเร่งขึ้นหรือชะลอตัว?
- แม้กราฟจะเพิ่มขึ้นต่อเนื่อง แต่ อัตราการเปลี่ยนแปลง (ความเร็วในการเคลื่อนที่ของเอาต์พุต) ก็สามารถเปลี่ยนแปลงได้เอง
- ความเว้า อธิบายว่า กราฟโค้งไปในทิศทางใด
- เว้าขึ้น — กราฟโค้งขึ้นเหมือนถ้วย ทำให้อัตราการเปลี่ยนแปลงเพิ่มขึ้น
- เว้าลง — กราฟโค้งลงเหมือนโดม ทำให้อัตราการเปลี่ยนแปลงลดลง
- แจกโค้งอีกครั้ง: ตรงที่แคบลง ระดับน้ำจะสูงขึ้นเร็วขึ้นเรื่อยๆ (เว้าขึ้น)
การบอกว่ากราฟมีลักษณะ เว้าขึ้น บอกให้คุณว่า…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เว้าขึ้นงอเหมือนถ้วย: อัตราการเปลี่ยนแปลง เองก็เพิ่มขึ้น กราฟสามารถเว้าขึ้นในขณะที่กำลังลดลง -- ลองคิดถึงสไลเดอร์ที่แผ่วบางลงด้านล่าง
จุดกลับทิศ: ค่าสูงสุดและต่ำสุดท้องถิ่น
- ที่ที่กราฟหยุดเพิ่มขึ้นและเริ่มลดลง จะถึง ค่าสูงสุดท้องถิ่น — ยอดเขา
- ที่ที่กราฟหยุดลดลงและเริ่มเพิ่มขึ้น จะถึง ค่าต่ำสุดท้องถิ่น — หุบเขา
- ยอดเขาหรือหุบเขาแต่ละจุดคือ จุดกลับทิศ
- "ท้องถิ่น" หมายถึง สูงสุดหรือต่ำสุด ในพื้นที่ใกล้เคียง — อาจไม่ใช่ทั้งกราฟ
ความชันของเส้นสัมผัสคืออัตราการเปลี่ยนแปลง
f(x) = x³ − 3x
ลากจุดเพื่ออ่านความชันของเส้นสัมผัส -- เป็นบวกเมื่อกราฟขึ้น, เป็นลบเมื่อกราฟลง, และเป็นศูนย์ที่จุดกลับทิศทาง
จุดที่กราฟหยุดเพิ่มขึ้นและเริ่มลดลงคือจุด ____ ในท้องถิ่น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ที่ จุดสูงสุดท้องถิ่น กราฟเปลี่ยนจากทางขึ้นเป็นทางลง -- จุดยอดที่สูงที่สุดเมื่อเทียบกับจุดใกล้เคียง
ดูกราฟในรูป เลือก ทุก ประโยคที่เป็นจริง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
กราฟขึ้น, กลับที่จุดยอด, ลง đếnจุดก้นหุบ, แล้วเพิ่มขึ้นอีกครั้ง มัน ไม่ใช่ เว้าขึ้นตลอด -- มันโค้งลงใกล้จุดยอดและเว้าขึ้นใกล้จุดก้นหุบ
"เพิ่มขึ้น" และ "เว้าขึ้น" เป็น แนวคิดที่ต่างกัน การเพิ่มขึ้น关乎 เอาต์พุต ที่สูงขึ้น; เว้าขึ้น关乎 อัตราการเปลี่ยนแปลง ที่สูงขึ้น กราฟสามารถ ลดลง และ เว้าขึ้น พร้อมกันได้ — ลงแต่แบนลงขณะลดลง
เปรียบเทียบเอาต์พุตสองค่า
- เพื่อเปรียบเทียบฟังก์ชันที่อินพุตสองค่า $a$ และ $b$, เปรียบเทียบเอาต์พุต $f(a)$ และ $f(b)$与之对应
- ถ้า $b > a$ และ $f(b) > f(a)$, เอาต์พุตเพิ่มขึ้นเมื่ออินพุตเพิ่มขึ้น
- การเปลี่ยนแปลงสุทธิ ของเอาต์พุตจาก $a$ ถึง $b$ คือ $f(b) - f(a)$ เพียงอย่างเดียว
- ถ้าฟังก์ชันกลับมาที่ค่าเดิม การเปลี่ยนแปลงสุทธิจะเป็นศูนย์ — แม้ว่าจะขึ้นและลงตลอดเส้นทางก็ตาม
ฟังก์ชันหนึ่งมี $f(2) = 5$ และ $f(6) = 5$ ค่า เปลี่ยนแปลงสุทธิ ของเอาต์พุตจาก $x = 2$ ถึง $x = 6$ คือ?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
การเปลี่ยนแปลงสุทธิ $= f(6) - f(2) = 5 - 5 = 0$. เอาต์พุตจบอยู่ที่จุดเริ่มต้น -- แม้ว่ามันอาจจะขึ้นและลงระหว่างทางก็ตาม
จับคู่แต่ละคำศัพท์กับสิ่งที่มันอธิบาย
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เพิ่มขึ้น/ลดลง อธิบาย ทิศทางของเอาต์พุต; ความเว้าอธิบายว่า อัตราการเปลี่ยนแปลง เองมีการเปลี่ยนแปลงอย่างไร; จุดสูงสุดท้องถิ่นคือจุดที่ทิศทางเปลี่ยน
ชาอุ่นappers จาก 90°C เป็นอุณหภูมิห้อง
- อุณหภูมิ (ค่าผลลัพธ์) ลดลง ตลอดเวลา — ไม่เคยกลับขึ้นไปอีก
- แต่จะลดลงอย่างรวดเร็วในตอนแรก แล้วจึงช้าลง: กราฟมีลักษณะ นูนขึ้น
- ไม่มีจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดภายในช่วงนั้น — ทิศทางไม่มีการพลิกกลับ
พฤติกรรมของฟังก์ชันอ่านได้จากกราฟ: เป็น เพิ่มขึ้น หรือ ลดลง ในช่วงต่างๆ, ความ นูน/เว้า บอกให้รู้ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงกำลังเร่งขึ้นหรือชะลอตัวลง, และ จุดเปลี่ยนทิศทาง คือจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดเฉพาะที่ซึ่งทิศทางการเปลี่ยนแปลงพลิกกลับ