เวกเตอร์และการเคลื่อนที่ในสองมิติ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| component/kəmˈpəʊnənt/ | องค์ประกอบ |
| resultant/rɪˈzʌltənt/ | เวกเตอร์ผลรวม |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | วัตถุที่กระเด็น |
เครื่องบินบินไปทางตะวันออกเฉียงเหนือ — การเคลื่อนที่สองชนิดในหนึ่งเดียว
- ลูกศรชี้ไปทาง "ตะวันออกเฉียงเหนือ" แต่เครื่องบินกำลังเคลื่อนที่ไปทาง ตะวันออกและเหนือพร้อมกัน
- การเคลื่อนที่จริงแทบไม่มีอะไรที่เป็นซ้าย–ขวา หรือขึ้น–ลง เพียงอย่างเดียว
- เทคนิคของจลนศาสตร์สองมิติ: แยกเวกเตอร์แต่ละตัวออกเป็นส่วนตั้งฉาก
- จัดการส่วนย่อยแยกกัน แล้วนำมาประกอบกลับเข้าด้วยกัน
การแยกองค์ประกอบ
- เวกเตอร์ใดๆ สามารถแทนได้ด้วยองค์ประกอบตั้งฉากสองตัว — ตัวหนึ่งตาม $x$, อีกตัวตาม $y$
- เมื่อรวมกันแล้ว องค์ประกอบทั้งสองมีผลกระทบเท่าเดิมกับเวกเตอร์ดั้งเดิม
- เลือกแกนที่ทำให้ปัญหาง่าย (มักเป็นแนวนอนและแนวตั้ง)
- องค์ประกอบมีเครื่องหมาย ดังนั้น "ซ้าย" และ "ล่าง" ก็เป็นค่าลบเพียงอย่างเดียว
สูตรขององค์ประกอบ
- สำหรับเวกเตอร์ $\vec A$ ที่มีขนาด $A$ ที่มุม $\theta$ เหนือแกน $x$:
- $A_x = A\cos\theta$ และ $A_y = A\sin\theta$
- สิ่งเหล่านี้มาจากสามเหลี่ยมมุมฉากที่เวกเตอร์สร้างร่วมกับองค์ประกอบของมัน
- การย้อนกลับ: $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ และ $\theta = \tan^{-1}\!\big(\tfrac{A_y}{A_x}\big)$.
ความเร็ว $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ชี้ขึ้นจากแนวนอน $37^\circ$ องค์ประกอบแนวนอนคือ $10\cos 37^\circ$ ด้วย $\cos 37^\circ = 0.8$ ค่าของ $v_x$ คืออะไรใน $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$v_x = A\cos\theta = 10 \times 0.8 = 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
สำหรับความเร็วเดียวกัน องค์ประกอบแนวตั้งคือ $10\sin 37^\circ$ ด้วย $\sin 37^\circ = 0.6$ ค่าของ $v_y$ คืออะไรใน $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$v_y = A\sin\theta = 10 \times 0.6 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
เวกเตอร์หนึ่งมีองค์ประกอบ $A_x = 3$ และ $A_y = 4$ ขนาดของมันคืออะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ ไม่ใช่ $3+4=7$ — เพราะองค์ประกอบตั้งฉากกัน
องค์ประกอบแนวนอนของเวกเตอร์ $A$ ที่มุม $\theta$ คือ $A$ ____ $\theta$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ด้านติดมุมของสามเหลี่ยมมุมฉากคือ $A\cos\theta$ ดังนั้น $A_x = A\cos\theta$
การบวกเวกเตอร์โดยใช้องค์ประกอบ
- เพื่อบวกเวกเตอร์ ให้ บวกองค์ประกอบ $x$ และ บวกองค์ประกอบ $y$ แยกต่างหาก
- ห้ามบวกขนาดโดยตรง — ทำได้เฉพาะเมื่อชี้ทิศทางเดียวกันเท่านั้น
- ผลรวม $(\Sigma A_x,\ \Sigma A_y)$ คือองค์ประกอบของ ผลรวม
- นำกลับมาประกอบด้วย $\sqrt{\;}$ และ $\tan^{-1}$ เพื่อหาขนาดและทิศทาง
บวกเวกเตอร์สองตัวโดยใช้องค์ประกอบ
ลากเวกเตอร์สองตัวแล้วดูผลลัพธ์ — องค์ประกอบของมันคือผลรวมของส่วนย่อย
เรียงขั้นตอนในการบวกเวกเตอร์สองตัวโดยใช้องค์ประกอบ โดยขั้นตอนแรกอยู่ด้านบนสุด
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
แยก ออก บวกตามองค์ประกอบ แล้วรวมขนาดและทิศทางใหม่
การเคลื่อนที่ตั้งฉากกันเป็นอิสระต่อกัน
- การเคลื่อนที่ใน $x$ และการเคลื่อนที่ใน $y$ เปลี่ยนแปลง แยกจากกัน — อย่างใดอย่างหนึ่งไม่ส่งผลต่ออีกอย่าง
- แรงโน้มถ่วงดึงลงด้านล่างเท่านั้น จึงเปลี่ยน $v_y$ แต่ไม่กระทบ $v_x$
- ความอิสระนี้คือหัวใจสำคัญของ การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ (หัวข้อ 2)
- ปล่อยลูกบอลและยิงอีกลูกหนึ่งในแนวราบพร้อมกัน: ทั้งสองตกลงพื้นพร้อมกัน
ส่วนแนวนอนและแนวตั้งของการเคลื่อนที่ในสองมิติเป็นอิสระต่อกัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
องค์ประกอบที่ตั้งฉากกันพัฒนาแยกกัน — แรงโน้มถ่วงเปลี่ยน $v_y$ แต่ไม่เปลี่ยน $v_x$ นี่คือพื้นฐานของการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์
คุณ ไม่สามารถ บวกเวกเตอร์สองตัวด้วยการบวกขนาดได้ เว้นแต่จะชี้ตามเส้นตรงเดียวกัน เวกเตอร์หน่วย $3$ บวกกับเวกเตอร์หน่วยตั้งฉาก $4$ จะได้ $5$ ไม่ใช่ $7$ — ต้องแยกเป็นองค์ประกอบ (หรือใช้สามเหลี่ยม) ก่อน
แยกความเร็ว $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ ที่ชี้ทำมุม $37^\circ$ เหนือระดับพื้น (ใช้ $\cos 37^\circ \approx 0.8$, $\sin 37^\circ \approx 0.6$)
- $v_x = 10\cos 37^\circ \approx 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- $v_y = 10\sin 37^\circ \approx 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
ตรวจสอบ: $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$. ✓
แยกเวกเตอร์ 2-มิติออกเป็น องค์ประกอบ ที่ตั้งฉากกัน: $A_x = A\cos\theta$, $A_y = A\sin\theta$. บวกเวกเตอร์โดยการบวกองค์ประกอบ $x$-และ $y$ แยกกัน แล้วรวมกลับด้วย $A = \sqrt{A_x^2+A_y^2}$. การเคลื่อนที่ในแนวตั้งฉากกันเป็น อิสระต่อกัน — นี่คือหัวใจของวัตถุถูกยิง