การหาพื้นที่ของบริเวณที่จำกัดด้วยเส้นโค้งเชิงขั้วสองเส้น
แนะนำใหม่พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งแบบขั้วสองเส้น
- เช่นเดียวกับกับ $x,y$ เส้นโค้ง คุณสามารถหาพื้นที่ ระหว่าง เส้นโค้งแบบขั้วสองเส้นได้
- นำพื้นที่ภายในเส้นโค้ง ภายนอก ลบด้วยพื้นที่ภายในเส้นโค้ง ภายใน
- แต่ละส่วนเป็น $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ อินทิกรัล; คำตอบคือผลต่างของทั้งสอง
- เทคนิคคือการหาจุดตัดของเส้นโค้งเพื่อกำหนดขอบเขตมุม
หามุมตัดกันก่อน
- ตั้งให้เส้นโค้งทั้งสองเท่ากัน, $f(\theta)=g(\theta)$, และแก้หาค่า มุมตัด
- มุมเหล่านี้คือ ขอบเขตของการอินทิเกรต $\alpha,\beta$ สำหรับพื้นที่ที่ล้อมรอบ
- (จุดตัดแบบขั้วอาจซับซ้อน — จุดหนึ่งอาจเข้าถึงได้ด้วย $\theta$ ต่างกัน; วาดแผนภาพเพื่อให้มั่นใจ)
- พื้นที่ที่ต้องการอยู่ระหว่างมุมเหล่านี้
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งเชิงขั้วสองเส้นคือ $\tfrac12\int_\alpha^\beta(\ ?\ )\,d\theta$ เมื่ออินทิกรานด้อยเป็น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
กำลังสองของเส้นโค้งภายนอกลบกำลังสองของเส้นโค้งภายใน.
ในการกำหนดขอบเขตมุม, หามุม ____ โดยแก้ $f(\theta)=g(\theta)$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ที่เส้นโค้งตัดกันจะเป็นขอบเขตของพื้นที่.
外侧平方减去内侧平方
- ในช่วงที่กำหนด ระบุเส้นไหนเป็น ภายนอก (รัศมี $r$更大) และเส้นไหนเป็น ภายใน
- พื้นที่ระหว่างมันคือ:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\big[r_{\text{outer}}\big]^2-\big[r_{\text{inner}}\big]^2\Big)\,d\theta$$
- ยกกำลังสองรัศมีแต่ละเส้น ลบกัน หารสอง อินทิเกรต — เครื่องล้างจานแบบขั้ว
ระหว่างเส้นโค้งเชิงขั้วสองเส้น
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งเชิงขั้วสองเส้นนำส่วนวงกลมภายในออกส่วนวงกลมภายนอก — $\tfrac12\int(r_\text{out}^2-r_\text{in}^2)\,d\theta$.
ในช่วงนั้น, เส้นโค้งภายนอกคือเส้นที่มี...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ภายนอก = ห่างจากจุดกำเนิดมากกว่า = ค่า $r$ ใหญ่กว่า
ยกกำลังสองก่อน แล้วค่อยลบ
- เหมือนกับเครื่องล้างจานแบบคาร์ทีเซียน มันคือ $r_{\text{out}}^2-r_{\text{in}}^2$, ไม่ใช่ $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$
- ยกกำลังสองรัศมีแต่ละเส้น ก่อน การลบ
- ตรวจสอบว่าเส้นไหนเป็นภายนอกในช่วง — มันสามารถสลับตำแหน่งได้ ต้องแบ่งช่วง
- $\tfrac12$ และ ยกกำลังสอง ทั้งคู่จำเป็นมาก
พื้นที่ภายใน $r=2$, นอก $r=1$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}(4-1)\,d\theta$ (เป็นผลคูณของ $\pi$)
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
คุณยกกำลังสองรัศมีแต่ละเส้นก่อนนำไปลบ, ไม่ใช่ $(r_\text{out}-r_\text{in})^2$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันคือ $r_\text{out}^2-r_\text{in}^2$
หากเส้นโค้งภายนอกและภายในสลับกันในช่วง, คุณควรแบ่งอินทิกรالที่จุดตัด.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การแบ่งช่วยรักษาการนำภายนอกลบภายในให้ถูกต้องในแต่ละส่วน.
ฟังก์ชันอินทิกรัลคือ $r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2$ — ยกกำลัง ก่อน การลบ, ไม่ pernah $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$. ได้มุมตัดที่ถูกต้อง (วาดเส้นโค้ง) และยืนยันว่าเส้นไหนเป็นภายนอกในช่วง; ถ้ามันสลับตำแหน่ง ให้แบ่งอินทิกรัลที่จุดตัด
หาพื้นที่ภายใน $r=2$ แต่ภายนอก $r=1$ (วงแหวน)
- ภายนอก $r=2$, ภายใน $r=1$, ตลอดทุกมุม $0$ ถึง $2\pi$
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}\big(2^2-1^2\big)\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}3\,d\theta=\dfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
- (ตรงกับพื้นที่วงแหวน $\pi(2^2-1^2)=3\pi$.) ✓
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งแบบขั้วสองเส้น คือ $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2\big)\,d\theta$. หามุม ตัด ก่อนเพื่อใช้กำหนดขอบเขต, ระบุภายนอก vs ภายใน, และ ยกกำลังสองรัศมีแต่ละเส้นก่อนการลบ — ไม่เคย $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$