นิยามอนุกรมอนันต์ลู่เข้าและลู่ถอย
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/ | อนุกรมอนันต์ |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | ลู่เข้า |
| diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/ | ลู่ออก |
| partial sum/ˈpɑːʃl sʌm/ | ผลบวกย่อย |
การบวกจำนวนนับไม่จำกัด
- คุณสามารถบวก จำนวนนับไม่จำกัด ของพจน์และได้ผลรวม จำกัด หรือไม่? บางครั้งได้
- อนุกรมอนันต์ คือผลรวม $a_1+a_2+a_3+\cdots$ ของพจน์ของลำดับ
- มัน ลู่เข้า หากผลรวมสะสมเข้าใกล้จำนวนจำกัด, และ ลู่แยก ในกรณีอื่น
- หน่วยนี้เกี่ยวกับ การตัดสินใจว่าอันไหน — และเมื่อลู่เข้าแล้ว, เข้าหาอะไร
ผลรวมย่อยคือกุญแจสำคัญ
- บวกพจน์ทีละตัว: ผลรวมย่อย $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ คือผลรวมของ $n$ พจน์แรก
- ผลรวมย่อยเหล่านี้สร้างลำดับ ของตัวเอง $S_1,S_2,S_3,\dots$
- ค่าของอนุกรมนิยามว่าเป็น ลิมิตของผลรวมย่อย: $\displaystyle\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$
- ดังนั้นผลรวมอนันต์จึงเป็น ลิมิต จริงๆ — แนวคิดลิมิตเดียวกันจากหน่วยที่ 1
พจน์ของอนุกรมลู่เข้า
พจน์ของ $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ ลดลงแบบเรขาคณิต, ดังนั้นผลบวกย่อยจะเข้าใกล้ค่าจำกัด.
ค่าของอนุกรมอนันต์ถูกนิยามว่าเป็นลิมิตของ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
ผลบวกของ $n$ พจน์แรก, $S_n$, เรียกว่าผลบวก $n$-th ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุกรมคือลิมิตของผลบวกย่อยเหล่านี้.
ลู่เข้าเทียบกับลู่แยก
- ลู่เข้า: ผลรวมย่อย $S_n$ เข้าใกล้ลิมิตจำกัด $L$ — ตัวเลข $L$ นั้นคือผลรวมของอนุกรม
- ลู่แยก: ผลรวมย่อยเติบโตโดยไม่จำกัด, หรือกระโดดไปมาและไม่นิ่งลง
- $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ ลู่เข้า (ไปที่ $2$); $1+1+1+\cdots$ ลู่แยก
- การลู่เข้า是关于ผลรวมย่อย นิ่งลง, ไม่ใช่关于พจน์
ผลบวกย่อยของ $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ ลู่เข้าหาลิมิตใด?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วน $\tfrac12$ มีผลบวกเท่ากับ $2$
อนุกรมใดลู่ถอยอย่างชัดเจน?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พจน์ไม่ลดลงสู่ $0$, ดังนั้นลู่ถอย.
อนุกรมลู่เข้าเมื่อผลบวกย่อย...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การลู่เข้า = ผลบวกย่อยเข้าใกล้ $L$ ที่จำกัด.
พจน์ลดลงจำเป็นแต่ไม่เพียงพอ
- เพื่อให้อนุกรมลู่เข้า พจน์ของมัน ต้อง ลดลงสู่ $0$ — มิฉะนั้นผลรวมจะนิ่งไม่ได้
- แต่การลดของพจน์ เพียงอย่างเดียวไม่รับประกัน การลู่เข้า (อนุกรมฮาร์โมนิก $\sum\tfrac1n$ มีพจน์ $\to0$ แต่ลู่แยก)
- ดังนั้น "$a_n\to0$" เป็นเงื่อนไข จำเป็น, ไม่ใช่เงื่อนไข เพียงพอ
- การทดสอบในหน่วยนี้เป็นเครื่องมือสำหรับกรณีที่ยากกว่า
หากพจน์ $a_n\to 0$, อนุกรมต้องลู่เข้า.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
จำเป็นแต่ไม่เพียงพอ — เช่น $\sum\tfrac1n$ ลู่ถอย.
อนุกรมคือ ลิมิตของผลบวกย่อย, ไม่ใช่แค่ "พจน์" พจน์ที่มุ่งหน้าสู่ $0$ เป็น สิ่งจำเป็นต่อการลู่เข้าแต่ ไม่เพียงพอ — $\sum\frac1n$ มีพจน์ $\to0$ แต่ลู่ออก อย่าสรุปว่าลู่เข้าเพียงเพราะพจน์ลดลง; คุณต้องใช้การทดสอบการลู่เข้าอย่างใดอย่างหนึ่ง
آیا $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ ลู่เข้าหรือไม่?
- ผลรวมย่อย: $S_1=1$, $S_2=1.5$, $S_3=1.75$, $S_4=1.875,\dots$
- มันเพิ่มขึ้นเข้าหา $2$ และไม่ข้ามมัน
- ลิมิตคือ $2$, ดังนั้นอนุกรม ลู่เข้า ไปยัง $2$
อนุกรมอนันต์ $\sum a_n$ คือ ลิมิตของผลบวกย่อย $S_n=a_1+\cdots+a_n$: มัน ลู่เข้า ไปยัง $L$ ถ้า $S_n\to L$ (จำนวนจำกัด), และ ลู่ออก ในกรณีอื่น พจน์ที่ลดลง menuju $0$ เป็น สิ่งจำเป็นแต่ไม่เพียงพอต่อการลู่เข้า