การทำงานกับอนุกรมเรขาคณิต
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | อนุกรมเรขาคณิต |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | อัตราส่วนร่วม |
อนุกรมเดียวที่คุณสามารถรวมได้แบบแม่นยำ
- อนุกรมส่วนใหญ่รวมยาก แต่ อนุกรมเรขาคณิต เป็นข้อยกเว้นที่เป็นมิตร — มันมีสูตรคำนวณ
- แต่ละพจน์คือพจน์ก่อนหน้าคูณด้วย อัตราส่วนร่วมคงที่ $r$: $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$.
- มันเป็นเวอร์ชันอนันต์ของลำดับเรขาคณิตที่คุณรู้จักอยู่แล้ว
- และมีกฎที่ชัดเจนสำหรับช่วงเวลาที่มันลู่เข้าและลู่เข้าที่ค่าใด
อนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิตเพิ่มพจน์ที่คูณด้วย $r$ ทุกครั้ง — มันลู่เข้า (ไปที่ $a/(1-r)$) พอดีเมื่อ $|r|<1$.
ลู่เข้าก็ต่อเมื่อ $|r|<1$
- อนุกรมเรขาคณิตจะ ลู่เข้า ก็ต่อเมื่อ $|r|<1$ (อัตราส่วนเป็นเศษส่วน)
- ถ้า $|r|\ge1$, พจน์จะไม่ลดทอนลงสู่ $0$, ดังนั้นมันจึง ลู่ไม่เข้า
- $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ ($r=\tfrac12$) ลู่เข้า; $1+2+4+\cdots$ ($r=2$) ลู่ไม่เข้า
- ตัวเลขตัวเดียว $|r|$ กำหนดทุกอย่าง
อนุกรมเรขาคณิต $\sum a r^n$ ลู่เข้าพอดีเมื่อ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลู่เข้าก็ต่อเมื่ออัตรา部分是เศษส่วน, $|r|<1$.
อนุกรมเรขาคณิตใดลู่ถอย?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$r=2$ มี $|r|\ge1$ → ลู่ถอย.
สูตรผลรวม
- เมื่อมันลู่เข้า ($|r|<1$), ผลรวมคือ
-
$$\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\frac{a}{1-r}$$
- $a$ คือ พจน์แรก และ $r$ คืออัตราส่วนร่วม
- แทนค่าลงไปจะได้ผลรวมอนันต์ที่ แม่นยำ — ไม่ต้องคำนวณลิมิตเองด้วยมือ
ผลบวกของอนุกรมเรขาคณิตลู่เข้าคือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sum a r^n=\frac{a}{1-r}$ สำหรับ $|r|<1$.
สูตร $\tfrac{a}{1-r}$ สามารถใช้ได้แม้ว่า $|r|\ge1$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เฉพาะเมื่อ $|r|<1$ (ลู่เข้า).
การระบุ $a$ และ $r$ ให้ถูกต้อง
- $a$ คือ พจน์แรกจริง ของอนุกรม (whatever it starts at), ไม่จำเป็นต้องเป็น $1$
- $r$ คืออัตราส่วนระหว่างพจน์ที่ติดกัน — นำพจน์ใดๆหารด้วยพจน์ก่อนหน้า
- ถ้าอนุกรมเริ่มที่ $n=1$ แทนที่จะเป็น $n=0$, ปรับ $a$ ให้เป็นพจน์แรกนั้น
- ด้วย $a$ และ $r$ ที่ถูกต้อง, สูตร $\tfrac{a}{1-r}$ จะจัดการส่วนที่เหลือให้
หา $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 5\left(\tfrac13\right)^n$ (ทศนิยม).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$\frac{5}{1-1/3}=\frac{5}{2/3}=7.5$.
ในสูตร $\tfrac{a}{1-r}$, $a$ คือพจน์ ____ ของอนุกรม
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$a$ เป็นพจน์แรกจริง.
สูตร $\frac{a}{1-r}$ ใช้ได้ เฉพาะ เมื่อ $|r|<1$ — การใช้กับอนุกรมเรขาคณิตที่ลู่ไม่เข้าจะได้ตัวเลขที่ไม่มีนัยสำคัญ และ $a$ คือ พจน์แรกตามรูปแบบเขียน, ไม่ใช่เสมอไปที่ $1$: สำหรับ $\sum_{n=1}^\infty 3\cdot 2^{-n}=\tfrac32+\tfrac34+\cdots$, พจน์แรกคือ $\tfrac32$, ไม่ใช่ $3$
หาผลรวมของ $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 5\left(\tfrac13\right)^{n}$
- พจน์แรก $a=5$, อัตราส่วนร่วม $r=\tfrac13$. เนื่องจาก $|r|<1$, มันลู่เข้า
- $\displaystyle\sum=\frac{a}{1-r}=\frac{5}{1-\tfrac13}=\frac{5}{\tfrac23}=\frac{15}{2}$.
อนุกรมเรขาคณิต $\sum a\,r^n$ ลู่เข้าก็ต่อเมื่อ $|r|<1$, และเมื่อลู่เข้าจะรวมได้เป็น $\frac{a}{1-r}$ (โดยมี $a$ เป็น พจน์แรก, $r$ เป็น อัตราส่วนร่วม) หาก $|r|\ge1$ มันลู่ไม่เข้า. มันเป็นอนุกรมเดียวที่มีผลรวมที่แม่นยำและง่ายต่อการคำนวณ