การทดสอบพจน์ที่ n เพื่อการลู่ถอย
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| nth Term Test/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm test/ | การทดสอบพจน์ที่ n |
วิธีพิสูจน์ความลู่ไม่เข้าอย่างรวดเร็ว
- ก่อนใช้การทดสอบที่ซับซ้อน ให้ตรวจสอบอย่างง่ายที่สุด: ดูที่พจน์
- การทดสอบพจน์ที่ n (หรือการทดสอบความลู่ไม่เข้า) ใช้ลิมิตของพจน์ $a_n$
- ถ้าพจน์ ไม่ ลดทอนลงสู่ $0$, อนุกรม ไม่สามารถ ลู่เข้า — มันลู่ไม่เข้าทันที
- นี่คือสิ่งแรกที่ควรลอง, และมันพิสูจน์ได้เพียง ความลู่ไม่เข้า เท่านั้น
การทดสอบ
- คำนวณ $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$
- ถ้า $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ (หรือลิมิตไม่มีอยู่), อนุกรม $\sum a_n$ ลู่ไม่เข้า
- ความรู้สึก: หากคุณเพิ่มชิ้นส่วนที่ไม่ลดทอนลงสู่ $0$ อย่างต่อเนื่อง, ค่ารวมจะnever settle
- การคำนวณลิมิตหนึ่งครั้ง, และคุณอาจจบลงแล้ว
พจน์ที่ไม่ถึงศูนย์
หากพจน์ของอนุกรมคงที่ที่ค่าที่ไม่เป็นศูนย์, ผลบวกจะไม่มีวันนิ่ง — การทดสอบพจน์ที่ n พิสูจน์การลู่ถอย.
ถ้า $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$, แล้ว $\sum a_n$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลิมิตพจน์ไม่เป็นศูนย์ → ลู่ถอย.
มันไม่สามารถพิสูจน์การลู่เข้าได้
- ถ้า $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$, การทดสอบนี้ ไม่มีข้อสรุป — มันบอกคุณ อะไรเลย
- อนุกรมอาจจะลู่เข้าหรือลู่ไม่เข้า; คุณต้องใช้การทดสอบอื่น
- อนุกรมฮาร์มอนิก $\sum\tfrac1n$ มี $a_n\to0$ แต่ ลู่ไม่เข้า — หลักฐานว่าทดสอบนี้ไม่สามารถยืนยันการลู่เข้าได้
- ดังนั้น "$0$" ลิมิตเป็นทางตันสำหรับ การทดสอบนี้, ไม่ใช่สัญญาณเขียว
ถ้า $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, การทดสอบพจน์ที่ n คือ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันพิสูจน์ได้เพียงการลู่ถอย; ลิมิต $0$ บอกอะไรคุณไม่ได้.
การทดสอบพจน์ที่ n สามารถพิสูจน์ได้ว่าอนุกรมลู่เข้า.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันพิสูจน์ได้เพียงการลู่ถอย.
อนุกรม $\sum\tfrac1n$ มี $a_n\to0$ แต่ลู่ถอย. สิ่งนี้แสดงว่าการทดสอบพจน์ที่ n...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลิมิต $0$ ไม่รับประกันการลู่เข้า.
ตำแหน่งของมันในกลยุทธ์
- ควรใช้การทดสอบพจน์ที่ n ก่อนสุด — รวดเร็วและอาจช่วยคุณจากการทดสอบที่ยาก
- พจน์ไม่ใช่ $\to0$? เสร็จสิ้น: ลู่ไม่เข้า
- พจน์ $\to0$? ไปต่อยังการทดสอบการลู่เข้าที่แท้จริง (เรขาคณิต, อินทิกรัล, เปรียบเทียบ, อัตราส่วน, สลับเครื่องหมาย)
- มันคือตัวกรอง, ไม่ใช่คำตอบเต็มรูปแบบ
สำหรับ $\sum\dfrac{n}{2n+1}$, $\lim a_n=\tfrac12$. ดังนั้นอนุกรม...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\tfrac12\neq0$ → ลู่ออก
ในฐานะตัวกรองที่รวดเร็ว, ใช้การทดสอบพจน์ที่ n ____ ในบรรดาการทดสอบการลู่เข้า.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เป็นการตรวจสอบการลู่ถอยที่ประหยัดที่สุด.
การทดสอบพจน์ที่ n สามารถ พิสูจน์ความลู่ไม่เข้าเท่านั้น ถ้า $\lim a_n=0$, มัน ไม่มีข้อสรุป — อย่า สรุปว่าเป็นการลู่เข้า ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือ "$a_n\to0$, ดังนั้นมันลู่เข้า" — ผิด; $\sum\frac1n$ เป็นตัวอย่าง反驳
آیا $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1}$ ลู่เข้าหรือไม่?
- พจน์: $a_n=\dfrac{n}{2n+1}$. ลิมิต: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac12$
- เนื่องจากลิมิตเป็น $\tfrac12\neq0$, อนุกรม ลู่ไม่เข้า ตามการทดสอบพจน์ที่ n
การ ทดสอบพจน์ที่ n: ถ้า $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$ (หรือ DNE), แล้ว $\sum a_n$ ลู่ไม่เข้า ถ้า $\lim a_n=0$, การทดสอบนี้ ไม่มีข้อสรุป (มันไม่เคยพิสูจน์การลู่เข้า) ใช้เป็นอันดับแรกเพื่อกรองความลู่ไม่เข้าอย่างรวดเร็ว