การทดสอบอินทิกรัลเพื่อการลู่เข้า
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| Integral Test/ˈɪntɪɡrəl test/ | การทดสอบอินทิกรัล |
อนุกรมและอินทิกรัลที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงไปพร้อมกัน
- ถ้าพจน์ของอนุกรมมาจากฟังก์ชันที่ลดลงอย่างเหมาะสม, โภชนาการของมันจะตรงกับ อินทิกรัล ของฟังก์ชันนั้น
- การทดสอบอินทิกรัล เปรียบเทียบ $\sum a_n$ กับ $\int f(x)\,dx$, โดยที่ $a_n=f(n)$
- คิดภาพพจน์เป็นพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า — พวกมันถูกปิดล้อมด้วยพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
- ดังนั้นอินทิกรัลไม่จำกัดที่ลู่เข้า (หรือไม่) จึงบังคับให้อนุกรมทำเช่นเดียวกัน
เงื่อนไข
- การทดสอบนี้ต้องการให้ $f$ เป็น บวก, ต่อเนื่อง, และ ลดลง สำหรับ $x\ge$ จุด某点
- จากนั้นกำหนด $a_n=f(n)$ และเปรียบเทียบกับอินทิกรัลไม่จำกัด
- เงื่อนไขเหล่านี้ช่วยให้สี่เหลี่ยมผืนผ้าปิดล้อมพื้นที่ใต้ $f$
- ตรวจสอบทั้งสามก่อนนำไปใช้ — ฟังก์ชัน $f$ ที่ไม่ลดลงจะทำให้การเปรียบเทียบล้มเหลว
การทดสอบอินทิกรัลต้องการ $f$ ให้เป็น สิ่งใด บน $[1,\infty)$?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
บวก, ต่อเนื่อง, ลดลง — ไม่จำเป็นต้องเป็นพหุนาม.
การทดสอบอินทิกรัลเชื่อมโยงอนุกรมกับอินทิกรัลโดยการตั้ง $a_n=f(\ \_\_\ )$.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พจน์คือฟังก์ชันที่สุ่มตัวอย่างที่จำนวนเต็ม.
บทสรุป
- $\displaystyle\sum a_n$ และ $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,dx$ ลู่เข้าหรือลู่ไม่เข้าทั้งคู่ — โภชนาการเหมือนกัน
- คำนวณอินทิกรัลไม่จำกัด: ถ้าเป็นจำนวน有限的, อนุกรมลู่เข้า; ถ้าเป็นอนันต์, ลู่ไม่เข้า
- (ผลรวมของอนุกรม ไม่ใช่ ค่าของอินทิกรัล — พวกมันแชร์แค่การลู่เข้า, ไม่ใช่ตัวเลข)
- อินทิกรัลไม่จำกัดหนึ่งตัวตัดสินใจทั้งอนุกรม
การทดสอบอินทิกรัลบอกว่า $\sum a_n$ และ $\int_1^\infty f\,dx$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พวกเขามีชะตากรรมร่วมกัน, ไม่ใช่ค่า.
ค่าของอินทิกรัลไม่จำกัดเท่ากับการผลบวกของอนุกรม.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พวกเขาShares การลู่เข้า, ไม่ใช่ค่า ($\sum\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}{6}\neq1$).
ทำไมถึงทำงานได้
- สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่ $a_n$ เข้าได้พอดีข้างบนหรือข้างล่างของเส้นโค้ง $y=f(x)$
- ดังนั้นอนุกรมถูกบีบคั้นระหว่าง $\int f$ และ $\int f + a_1$ — อินทิกรัล有限 berarti อนุกรม finite
- นี่คือการ "เปรียบเทียบพื้นที่" แบบเข้มงวด, เปลี่ยนผลบวกให้เป็นอินทิกรัลที่คุณประเมินได้
- มันมีประโยชน์เป็นพิเศษสำหรับพจน์ประเภท $\tfrac1{n^p}$ และ $\tfrac1{n\ln n}$
สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่จำกัดโดยเส้นโค้ง
y = 1/x²
สี่เหลี่ยมผืนผ้าพจน์ติดกับพื้นที่ใต้ $f$, ดังนั้นอนุกรมและอินทิกรัลลู่เข้าหรือลู่ถอยไปด้วยกัน.
เนื่องจาก $\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (จำกัด), อนุกรม $\sum\tfrac1{n^2}$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อินทิกรัลจำกัด → อนุกรมลู่เข้า.
ถ้า $\int_1^\infty f\,dx$ ลู่ถอย (ไปที่ $\infty$), แล้ว $\sum a_n$...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ชะตากรรมเดียวกัน: อินทิกรัลลู่ถอย → อนุกรมลู่ถอย.
การทดสอบอินทิกรัลต้องใช้ $f$ เป็นบวก, ต่อเนื่อง และลดลง — ตรวจสอบให้ครบทั้งสามข้อ และการทดสอบนี้บอกได้เพียงว่า ลู่เข้า/ลู่ออก ไม่ใช่ค่าของผลรวม: $\sum a_n \neq \int_1^\infty f\,dx$ โดยทั่วไป อย่าใช้ค่าของอินทิกรัลเป็นผลรวมของอนุกรม
ทดสอบ $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ ด้วย การทดสอบอินทิกรัล
- $f(x)=\tfrac1{x^2}$ เป็นบวก, ต่อเนื่อง, ลดลง สำหรับ $x\ge1$ ✓
- $\displaystyle\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (มีค่าจำกัด, จากบทเรียน 6.13)
- อินทิกรัลลู่เข้า ดังนั้นอนุกรมจึง ลู่เข้า (ผลรวมของมันคือ $\tfrac{\pi^2}{6}$, ไม่ใช่ $1$)
การทดสอบอินทิกรัล: ถ้า $f$ เป็น บวก, ต่อเนื่อง และลดลง กับ $a_n=f(n)$ แล้ว $\sum a_n$ และ $\int_1^\infty f(x)\,dx$ จะ มีชะตากรรมเดียวกัน (ลู่เข้าหรือลู่ออกทั้งคู่) คำนวณอินทิกรัลที่ improper เพื่อตัดสินใจ — แต่ค่าของมัน ไม่ใช่ ผลรวมของอนุกรม